本周小结
这周复习了平衡树的内容，学习了根号分治的算法思想。
根号分治听起来比较冷门，但是是一种很好用也很精妙的思想。
根号分治
一道题目：哈希冲突
暴力
如果使用暴力，每次询问扫一遍，对于一次查询的时间复杂度为\(O(\frac{n}{x})\)。当\(x=1\)时是最差时间复杂度，也就是说，最坏情况下，总体时间复杂度是\(O(mn)\)。
但是，如果是随机的呢？
我们知道调和级数\(\sum_{i=1}^{n}\frac{n}{i} \approx n\log n\)，所以随机数据的单点问询时间复杂度为\(O(\log n)\)！在随机数据下，暴力的时间复杂度不会很差！
从询问入手
这也是我感到新奇的地方，这种思想的精妙之处也体现在这里。
我们发现：对于\(x\)较大的情况，即使是暴力去做也是很快的。主要就是思考对于\(x\)较小时如何去做。（\(x\)较大和较小的定义后文会说）
于是现在暴力处理小\(x\)时的缺陷需要弥补，其实对于较小的\(x\)而言，我们可以将当前序列拆成\(x\)个小序列。具体来说，是定义一个二维数组\(ans[i][j]\)，表示当前模\(i\)的\(j\)池子的元素总和。
所以，我们现在假设一个数\(L\)。当\(x\leq L\)时叫做\(x\)较小，当\(x>L\)是叫做\(x\)较大。对于较小的\(x\)，需要定义数组int ans[SIZ][SIZ];。一开始的预处理是\(O(nL)\)的时间，每加入一个元素是\(O(L)\)的时间，查询较小\(x\)的时间复杂度是\(O(1)\)，较大\(x\)的时间复杂度是O(\frac{n}{L})$
时间复杂度分析
接下来分析\(L\)的取值，以及总体的时间复杂度
分析最坏情况下的时间复杂度，假设有\(uC\)个查询，\(uA\)个加入总时间为\(O(nL+uA\times L+uC\times \frac{n}{L})\)
即\(O(L(n+uA)+uC\times \frac{n}{L})\)
根据均值不等式，得出时间复杂度最小是\(L(n+uA)+uC\times \frac{n}{L}>=2\sqrt{(n+uA)*uC*n}\approx O(\sqrt{(n+uA)*uC*n})\)
根据均值不等式取最小值的条件，\(L(n+uA)=uC\times \frac{n}{L}\)
所以\(L=\sqrt{\frac{uC*n}{n+uA}}\)
如果觉得统计\(uC\)和\(uA\)麻烦的话，可以近似的取\(uA=uC=\frac{m}{2}\)
最终，\(L=\sqrt{\frac{mn}{2n+m}}\)，时间复杂度为\(O(\sqrt{n^2m+nm^2})\)
注意出错的点
1、\(L\)求出来后最好与\(SIZ\)比较大小，避免ans数组越界
2、虽然是分块，但\(L\)的取值并不是简单的\(\sqrt n\)
其他题目
SHOI2006homework 一种很好的根号分治，\(L\)取值较为麻烦，可以将询问一并读入后直接取\(L=\sqrt{R}\)（\(R\)为最大的数）
想法
根号分治就是将询问分为两部分，而时间复杂度是与这种询问有关的。需要取得一个平衡，那么就要用两种不同的方法来解决题目。一种是善于处理小数据的，一种是善于处理大数据的。如此可以使得时间复杂度成为平衡，时间复杂度的计算以及\(L\)值的选取是很重要的一个难点。