本周小結
這周復習了平衡樹的內容，學習了根號分治的算法思想。
根號分治聽起來比較冷門，但是是一種很好用也很精妙的思想。
根號分治
一道題目：哈希沖突
暴力
如果使用暴力，每次詢問掃一遍，對於一次查詢的時間復雜度為\(O(\frac{n}{x})\)。當\(x=1\)時是最差時間復雜度，也就是說，最壞情況下，總體時間復雜度是\(O(mn)\)。
但是，如果是隨機的呢？
我們知道調和級數\(\sum_{i=1}^{n}\frac{n}{i} \approx n\log n\)，所以隨機數據的單點問詢時間復雜度為\(O(\log n)\)！在隨機數據下，暴力的時間復雜度不會很差！
從詢問入手
這也是我感到新奇的地方，這種思想的精妙之處也體現在這里。
我們發現：對於\(x\)較大的情況，即使是暴力去做也是很快的。主要就是思考對於\(x\)較小時如何去做。（\(x\)較大和較小的定義后文會說）
於是現在暴力處理小\(x\)時的缺陷需要彌補，其實對於較小的\(x\)而言，我們可以將當前序列拆成\(x\)個小序列。具體來說，是定義一個二維數組\(ans[i][j]\)，表示當前模\(i\)的\(j\)池子的元素總和。
所以，我們現在假設一個數\(L\)。當\(x\leq L\)時叫做\(x\)較小，當\(x>L\)是叫做\(x\)較大。對於較小的\(x\)，需要定義數組int ans[SIZ][SIZ];。一開始的預處理是\(O(nL)\)的時間，每加入一個元素是\(O(L)\)的時間，查詢較小\(x\)的時間復雜度是\(O(1)\)，較大\(x\)的時間復雜度是O(\frac{n}{L})$
時間復雜度分析
接下來分析\(L\)的取值，以及總體的時間復雜度
分析最壞情況下的時間復雜度，假設有\(uC\)個查詢，\(uA\)個加入總時間為\(O(nL+uA\times L+uC\times \frac{n}{L})\)
即\(O(L(n+uA)+uC\times \frac{n}{L})\)
根據均值不等式，得出時間復雜度最小是\(L(n+uA)+uC\times \frac{n}{L}>=2\sqrt{(n+uA)*uC*n}\approx O(\sqrt{(n+uA)*uC*n})\)
根據均值不等式取最小值的條件，\(L(n+uA)=uC\times \frac{n}{L}\)
所以\(L=\sqrt{\frac{uC*n}{n+uA}}\)
如果覺得統計\(uC\)和\(uA\)麻煩的話，可以近似的取\(uA=uC=\frac{m}{2}\)
最終，\(L=\sqrt{\frac{mn}{2n+m}}\)，時間復雜度為\(O(\sqrt{n^2m+nm^2})\)
注意出錯的點
1、\(L\)求出來后最好與\(SIZ\)比較大小，避免ans數組越界
2、雖然是分塊，但\(L\)的取值並不是簡單的\(\sqrt n\)
其他題目
SHOI2006homework 一種很好的根號分治，\(L\)取值較為麻煩，可以將詢問一並讀入后直接取\(L=\sqrt{R}\)（\(R\)為最大的數）
想法
根號分治就是將詢問分為兩部分，而時間復雜度是與這種詢問有關的。需要取得一個平衡，那么就要用兩種不同的方法來解決題目。一種是善於處理小數據的，一種是善於處理大數據的。如此可以使得時間復雜度成為平衡，時間復雜度的計算以及\(L\)值的選取是很重要的一個難點。