有向图子图 DAG 数量

考虑 \(\tt DP\)，朴素的想法是令 \(f_S\) 表示 \(S\) 这个导出子图将边定向集合构成 \(\tt DAG\) 的方案数。

转移可以考虑剥去所有入度为 \(0\) 的点，那么我们就需要得到仅存在 \(T\) 这个子集为 \(S\) 中入度为 \(0\) 的点的方法。

直接做是困难的，考虑容斥。

强制钦定 \(T\) 这个子集为 \(S\) 中入度为 \(0\) 的点，其他的点不管，\(T \rightarrow S - T\) 的边显然可以连或不连，而 \(S - T \rightarrow T\) 中间的边必须强制不连，这样可以得到转移：

\[f_S = \sum\limits_{T \subseteq S, T \ne \varnothing} 2 ^ {ways(T, S - T)} \times f_{S - T} \]

令 \(q_T = 2 ^ {ways(T, S - T)} \times f_{S - T}\)，令 \(S\) 中恰好仅有 \(T\) 做为入度为 \(0\) 的点的方案为 \(p_T\)，那么有：

\[q_T = \sum\limits_{T \subseteq S} p_S \]

根据二项式反演的集合形式，有：

\[p_S = \sum\limits_{S \subseteq T} (-1) ^ {|T| - |S|} q_T \]

在本题中，我们需要求：

\[\begin{aligned} & \sum\limits_{T \subseteq S, T \ne \varnothing} p_T \\ &= \sum\limits_{T \subseteq S, T \ne \varnothing} \sum\limits_{T \subseteq R, R \subseteq S} (-1) ^ {|R| - |T|} q_R \\ &= \sum\limits_{T \subseteq S} (-1) ^ {|T| - 1} q_T \end{aligned} \]

因此有 \(f\) 的转移：

\[f_S = \sum\limits_{T \subseteq S, T \ne \varnothing} (-1) ^ {|T| - 1} \times 2 ^ {ways(T, S - T)} \times f_{S - T} \]

此时只要处理出 \(ways(T, S - T)\) 即可做到 \(\mathcal{O}(3 ^ n)\)。

对于每个 \(S\)，我们考虑单独计算 \(ways(T, S - T)(T \subseteq S)\)，将其简写为 \(w_T\)。

对 \(w_T\) 进行 \(\tt DP\)，显然每次只需取出一个在 \(T\) 中的点进行转移即可，可以使用 \(\mathtt{lowbit}, \mathcal{O}(1)\) 取出。

转移只需预处理出 \(w1_{i, S}, w2_{i, S}\) 分别表示 \(i \rightarrow S\) 中的边数和 \(S \rightarrow i\) 中的边数即可，这部分直接暴力。

于是本题可以做到时间复杂度 \(\mathcal{O}(3 ^ n)\)，空间复杂度 \(\mathcal{O}(n \times 2 ^ n)\)。