有向圖子圖 DAG 數量

考慮 \(\tt DP\)，朴素的想法是令 \(f_S\) 表示 \(S\) 這個導出子圖將邊定向集合構成 \(\tt DAG\) 的方案數。

轉移可以考慮剝去所有入度為 \(0\) 的點，那么我們就需要得到僅存在 \(T\) 這個子集為 \(S\) 中入度為 \(0\) 的點的方法。

直接做是困難的，考慮容斥。

強制欽定 \(T\) 這個子集為 \(S\) 中入度為 \(0\) 的點，其他的點不管，\(T \rightarrow S - T\) 的邊顯然可以連或不連，而 \(S - T \rightarrow T\) 中間的邊必須強制不連，這樣可以得到轉移：

\[f_S = \sum\limits_{T \subseteq S, T \ne \varnothing} 2 ^ {ways(T, S - T)} \times f_{S - T} \]

令 \(q_T = 2 ^ {ways(T, S - T)} \times f_{S - T}\)，令 \(S\) 中恰好僅有 \(T\) 做為入度為 \(0\) 的點的方案為 \(p_T\)，那么有：

\[q_T = \sum\limits_{T \subseteq S} p_S \]

根據二項式反演的集合形式，有：

\[p_S = \sum\limits_{S \subseteq T} (-1) ^ {|T| - |S|} q_T \]

在本題中，我們需要求：

\[\begin{aligned} & \sum\limits_{T \subseteq S, T \ne \varnothing} p_T \\ &= \sum\limits_{T \subseteq S, T \ne \varnothing} \sum\limits_{T \subseteq R, R \subseteq S} (-1) ^ {|R| - |T|} q_R \\ &= \sum\limits_{T \subseteq S} (-1) ^ {|T| - 1} q_T \end{aligned} \]

因此有 \(f\) 的轉移：

\[f_S = \sum\limits_{T \subseteq S, T \ne \varnothing} (-1) ^ {|T| - 1} \times 2 ^ {ways(T, S - T)} \times f_{S - T} \]

此時只要處理出 \(ways(T, S - T)\) 即可做到 \(\mathcal{O}(3 ^ n)\)。

對於每個 \(S\)，我們考慮單獨計算 \(ways(T, S - T)(T \subseteq S)\)，將其簡寫為 \(w_T\)。

對 \(w_T\) 進行 \(\tt DP\)，顯然每次只需取出一個在 \(T\) 中的點進行轉移即可，可以使用 \(\mathtt{lowbit}, \mathcal{O}(1)\) 取出。

轉移只需預處理出 \(w1_{i, S}, w2_{i, S}\) 分別表示 \(i \rightarrow S\) 中的邊數和 \(S \rightarrow i\) 中的邊數即可，這部分直接暴力。

於是本題可以做到時間復雜度 \(\mathcal{O}(3 ^ n)\)，空間復雜度 \(\mathcal{O}(n \times 2 ^ n)\)。