如何求线性规划的标准型？
将目标函数 max 化，约束条件加松弛变量变等式，改系数使得右边数非负，无约束自由元用两个松弛变量替换。
单纯形表的矩阵表示？
| 基变量 \(X_B\) | 非基变量 \(X_N\) | 右侧 RHS | |
|---|---|---|---|
| 系数矩阵 | \(I\) | \(B^{-1}N\) | \(B^{-1}b\) |
| 检验数 | \(0\) | \(C_N-C_BB^{-1}N\) | \(-C_BB^{-1}b\) |
\(B\) 是新基变量在原表中的对应列，\(B^{-1}\) 是原基变量在新表中的对应列，任意列向量 \(p \to p'\) 满足 \(p=Bp'\)。
求线性规划的对偶问题？
以下讨论原问题 Max 到对偶问题 Min 的转化。约束条件 \(\le\) 对应 \(y_i \ge 0\)，\(=\) 对应无限制。\(x_i \ge 0\) 对应约束条件 \(\ge\)。约束条件右端项对应目标函数系数。
对偶问题解的关系？
原问题的最优解和对偶问题的最优解一定满足 \(\max z=\min w\)。
单纯形表中，检验数行对应对偶问题变量取值或相反数（若原问题为 Max）。
对偶问题的性质？
- 对偶的对偶就是原问题
- \(CX\le Yb\)，其中 \(X,Y\) 是原问题、对偶问题的任意可行解
- 具有无界解的问题的对偶是无解的问题
- 当可行解 \(X,Y\) 满足 \(CX=Yb\) 时它们是最优解
- 原问题有最优解则对偶问题有目标函数值相同的最优解
- 互补松弛性：可行解 \(X,Y\) 是最优解当且仅当 \(YX_S=0\) 且 \(Y_SX=0\)
- 原问题单纯形表的检验数行对应对偶问题的一个基本解
由 P 最优解求 D 最优解？（只有解没有表）
将 D 最优解带入 D 的 \(\le\) 约束条件中，紧对应 \(x=0\)，松对应 \(x\ge 0\)。根据 D 最优解判断原问题最优解，\(y>0\) 对应 =。联立解方程组得到 \(x^*\)。
对偶单纯形法？
回忆单纯形法中，我们想要让所有 \(\sigma\) 非正，取 \(\sigma\) 最大值，并取对应 \(\theta\) 的最小。
对偶单纯形法中，我们想要让所有 \(b\) 非负，因此取 \(b\) 最小值，并取对应 \(\theta\)（要求约束系数行对应元素是负的，否则忽略之）最小。
灵敏度分析？
修改单纯形表，重新计算检验数。若检验数不满足条件用单纯形法迭代。若右端项不满足条件用对偶单纯形法继续迭代。
影子价格的意义？
每增加一单位资源，收益增加多少。影子价格 \(>0\) 等价于资源无剩余。