考虑三阶行列式：
\[\begin{aligned} |A| &= a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) \\ &+ a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{32}) \\ &= a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} \end{aligned} \]
其中：
\[M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} , M_{12} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} , M_{13} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \]
\((-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}\)，行列指标和的奇偶性决定正负号。
定义 2.4.1：
\(n\)级矩阵\(A=(a_{ij})\)，划去\(A\)的\((i,j)\)元所在的第\(i\)行和第\(j\)列，剩下的元素按原来的顺序构成一个\(n-1\)级行列式，称为矩阵\(A\)的\((i,j)\)元的余子式，记为\(M_{ij}\)，令\(A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\)，称\(A_{ij}\)是\(A\)的\((i,j)\)元的代数余子式。
定理 2.4.1：
\(n\)级矩阵\(A\)的行列式\(|A|\)等于它的第\(i\)行元素与自己的代数余子式的成绩之和，即：
\[\begin{aligned} |A| &= a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \dots + a_{in}A_{in} \\ &= \sum_{j = 1}^n a_{ij}A_{ij} \end{aligned} \]
其中\(i \in \{1, 2, 3, \dots, n\}\)。上式称为\(n\)阶行列式按第\(i\)行的展开式。
证明：将\(|A|\)按第\(i\)行的\(n\)个元素分成\(n\)组
\[\begin{aligned} |A| &= \sum_{k_1\dots k_{i - 1}jk_{i + 1}\dots k_n}(-1)^{\tau(k_1\dots k_{i-1}jk_{i+1}\dots k_n)}a_{ik_1}\dots a_{i-1,k-1}a_{ij}a_{i+1,k+1}\dots a_{n,k_n} \\ &= \sum_{jk_1\dots k_{i - 1}k_{i + 1}\dots k_n}(-1)^{\tau(jk_1\dots k_{i-1}k_{i+1} \dots k_n)+\tau(i,1,2\dots i-1,i+1\dots n)}a_{ij}a_{ik_1}\dots a_{i-1,k-1}a_{i+1,k+1}\dots a_{n,k_n} \\ &= \sum_{jk_1\dots k_{i - 1}k_{i + 1}\dots k_n}(-1)^{i-1}(-1)^{j-1}(-1)^{\tau(k_1\dots k_{i-1}k_{i+1} \dots k_n)}a_{ij}a_{ik_1}\dots a_{i-1,k-1}a_{i+1,k+1}\dots a_{n,k_n} \\ &= \sum_{j=1}^n (-1)^{i + j}a_{ij}[\sum_{k_1\dots k_{i - 1}k_{i + 1}\dots k_n}(-1)^{\tau(k_1\dots k_{i-1}k_{i+1} \dots k_n)}a_{ik_1}\dots a_{i-1,k-1}a_{i+1,k+1}\dots a_{n,k_n}] \\ &= \sum_{j=1}^n (-1)^{i + j}a_{ij}M_{ij} \\ &= \sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij} \end{aligned} \]
定理2.4.2：
\(n\)级矩阵\(A\)的行列式\(|A|\)等于它的第\(j\)列元素与自己的代数余子式的乘积之和，即：
\[\begin{aligned} |A| &= a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \dots + a_{nj}A_{nj} \\ &= \sum_{i = 1}^n a_{ij}A_{ij} \end{aligned} \]
其中\(j \in \{1, 2, 3, \dots, n\}\)
证明：
将\(|A'|\)按第\(j\)行展开，且\(A'\)的\((j,i)\)元为\(A\)的\((i,j)\)元，\(|A'|\)的\((j,i)\)元的代数余子式等于\(|A|\)的\((i,j)\)元的代数余子式。\(|A| = |A'| = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \dots + a_{nj}A_{nj}\)
定理2.4.3：
\(n\)级矩阵\(A\)的行列式\(|A|\)的第\(i\)行元素与第\(k\)行（\(k \neq i\)）相应元素的代数余子式的乘积之和等于\(0\)，即：\(a_{i1}A_{k1} + a_{i2}A_{k2} + \dots + a_{in}A_{kn} = 0\)
证明：
展开式对应的行列式为：
\[|B| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \]
又\(|B| = 0\)，故结论成立
定理 2.4.4：
\(n\)级矩阵\(A\)的行列式\(|A|\)的第\(j\)列元素与第\(l\)列元素（\(l \leq j\)）相应元素的代数余子式的乘积之和等于\(0\)
定理 2.4.5（范德蒙德行列式）：
\[|V| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix} =\prod_{1 \leq j < i \leq n}(a_i - a_j) \]
证明：数学归纳法证明，
当\(n = 2\)时，有：
\[\begin{vmatrix} 1 & 1\\ a_1 & a_2 \end{vmatrix} = a_2 - a_1 成立！ \]
假设\(n-1\)阶行列式成立，则对于\(n\)阶行列式
\[\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1^{n-2} & a_2^{n-2} & a_3^{n-2} & \cdots & a_n^{n-2} \\ 0 & a_2^{n-2}(a_2-a_1) & a_3^{n-2}(a_3-a_1) & \cdots & a_n^{n-2}(a_n-a_1) \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & a_2 - a_1 & a_3 - a_1 & \cdots & a_n-a_1 \\ 0 & a_2(a_2 - a_1) & a_3(a_3 - a_1) & \cdots & a_n(a_n-a_1) \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a_2^{n-2}(a_2-a_1) & a_3^{n-2}(a_3-a_1) & \cdots & a_n^{n-2}(a_n-a_1) \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a_2 - a_1 & a_3 - a_1 & \cdots & a_n-a_1 \\ a_2(a_2 - a_1) & a_3(a_3 - a_1) & \cdots & a_n(a_n-a_1) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_2^{n-2}(a_2-a_1) & a_3^{n-2}(a_3-a_1) & \cdots & a_n^{n-2}(a_n-a_1) \\ \end{vmatrix} \\ &= (a_2 - a_1)(a_3-a_2)\dots (a_n-a_1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_2^{n-2} & a_3^{n-2} & \cdots & a_n^{n-2} \end{vmatrix} \\ &= \prod_{1 \leq j < i \leq n}(a_i - a_j) \end{aligned} \]
由数学归纳法证毕！
