第四章学习笔记 结构可靠性分析的Monte Carlo方法
Monte Carlo方法是所有基于随机抽样方法的总成，包括直接Monte Carlo方法，重要抽样法（Importance sampling），子集模拟（Subset simulation），分层抽样法（Stratiied sampling），方向抽样法（Directional sampling），线性抽样法（Line sampling）。
结构可靠性分析的数学模型是一个（多元）积分问题，上述算法的目标均是计算积分所表示的数学期望。
0. 结构可靠性分析数学模型
1. 为什么不采用数值积分方法？
当积分维数n较大时，数值积分的效率很低；实际上，当n>3时，数值积分很难保证收敛。
而直接Monte Carlo方法的估计误差为O(N-1/2)，与问题维数无关。
2. Monte Carlo方法的理论基础
1）大数定律：当样本量趋于无穷大时，样本均值以概率1收敛于母体均值。
2）事件发生的频率以概率1收敛于事件的概率。
然而，在实际问题中，样本量无穷这一条件是无法达到的，所以由蒙特卡洛方法得到的积分估计值本身仍然是一个随机变量的样本。
3. 积分估计和统计特性
式（4.1）的积分问题可以重写为数学期望
待解决问题：
1. 估计误差如何确定？（如Monte Carlo方法的估计误差为O(N-1/2)）
参考文献：
1. 结构可靠性分析与随即优化的统一方法