方向导数，偏导数，梯度

一、总结

一句话总结：

方向导数：曲面的每一个点是有很多条切线的，不同方向的切线就是方向导数。

偏导数：例如f(x0,y0)对x求偏导就是与X轴方向平行时的方向导数。

梯度：梯度的方向是最大的方向导数，是f(x,y)这一点增长最快的方向。

 

 

二、方向导数，偏导数，梯度

转自或参考：方向导数，偏导数，梯度 - be·freedom - 博客园
https://www.cnblogs.com/super-yb/p/10709959.html

 

给出方向导数的定义

定理  如果函数在点是可微分的，那么函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有

           

其中为X轴到  方向的转角.  记住，方向导数 实为一个 数值

为了更好理解，给出一道例题：

 

 那么偏导数是什么呢，例如就是与X轴方向平行时的方向导数。

证明：当与Y轴方向平行时。 = 0，所以有

参考方向导数的公式，偏导数可以当做所有方向向量的基，可以组合成任意一个方向导数。

也可以理解成线性代数里基变换

那么梯度与方向导数之间存在什么关系呢？

假设向量=（cos，sin），  =（

可以当做所有方向向量的基，可以组合成任意一个方向导数。

也可以理解成线性代数里基变换

那么梯度与方向导数之间存在什么关系呢？

假设向量=（cos，sin），  =（，），那么两向量求內积=方向梯度，可以用另一个公式计算

当两向量同方向时，cos α 取最大值，也就是方向导数最大的时候

我们定义L为梯度，即梯度的方向是最大的方向导数，是f(x,y)这这一点增长最快的方向。

 

参考：

 https://www.zhihu.com/search?type=content&q=%E5%A6%82%E4%BD%95%E7%90%86%E8%A7%A3%E6%A2%AF%E5%BA%A6

http://netedu.xauat.edu.cn/jpkc/netedu/jpkc/gdsx/homepage/5jxsd/51/513/5308/530807.htm