量子光学笔记1——电磁场的量子化

一、遇事不决，量子力学！

通过电动力学中我们可以列出自由电磁场中的Maxwell方程

\begin{aligned} \nabla \cdot {B} &=0 \\ \nabla \times {E} &=-\frac{\partial {B}}{\partial t} \\ \nabla \cdot {D} &=0 \\ \nabla \times {H} &=\frac{\partial{D}}{\partial t} \end{aligned}\nabla \cdot \boldsymbol{A}=0

其中E和B都可以使用矢势 A(\boldsymbol{r}, t) 表示： \begin{aligned} &\boldsymbol{B}=\nabla \times \boldsymbol{A}\\ &\boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} \end{aligned} 我们在这里取库伦规范 \nabla \cdot \boldsymbol{A}=0 。

正如我们在电动力学中做过无数遍的化简：上述Maxwell方程组可以化简为关于 A(\boldsymbol{r}, t) 的波动方程： \nabla^{2} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, t)=\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, t)}{\partial t^{2}} 而这个方程具有行波解的形式 \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, t)=\boldsymbol{A}^{(+)}(\boldsymbol{r}, t)+\boldsymbol{A}^{(-)}(\boldsymbol{r}, t) 其中 {A}^{(-)}=\left({A}^{(+)}\right)^* 互为复共轭

接下来我们可使用一组正交基对 A^{(+)}(r, t) 经行展开 \boldsymbol{A}^{(+)}(\boldsymbol{r}, t)=\sum_{k} c_{k} \boldsymbol{u}_{k}(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{e}^{-i \omega_{k} t}

其中正交基为 u_{k}(r) 满足：

• 方程： \left(\nabla^{2}+\frac{\omega_{k}^{2}}{c^{2}}\right) \boldsymbol{u}_{k}(\boldsymbol{r})=0
• 规范： \nabla \cdot \boldsymbol{u}_{k}(\boldsymbol{r})=0
• 正交归一性： \int_{V} \boldsymbol{u}_{k}^{*}(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{u}_{k^{\prime}}(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} \boldsymbol{r}=\delta_{k k^{\prime}}

由上述几个条件可以解出基的值（这同我们在解波导问题很相近）

\boldsymbol{u}_{k}(\boldsymbol{r})=L^{-3 / 2} \hat{\boldsymbol{e}}^{(\lambda)} \exp (\boldsymbol{i} \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r})

其中 \hat{\boldsymbol{e}}^{(\lambda)} 代表偏振方向的选择。之后讨论同波导中解法，有：

k_{x}=\frac{2 \pi n_{x}}{L}, \quad k_{y}=\frac{2 \pi n_{y}}{L}, \quad k_{z}=\frac{2 \pi n_{z}}{L}, \quad n_{x}, n_{y}, n_{z}=0, \pm 1, \pm 2, \ldots

可以观察到u_{k}(r)满足的方程与量子力学中谐振子满足的方程是相似的，这也亦为之我们可以使用谐振子的代数解法来解决u_{k}(r)的问题。经过计算可得：

\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, t)=\sum_{k}\left(\frac{\hbar}{2 \omega_{k} \varepsilon_{0}} \cdot\right)^{1 / 2}\left[a_{k} \boldsymbol{u}_{k}(\boldsymbol{r}) \mathrm{e}^{-i \omega_{k} t}+a_{k}^{\dagger} \boldsymbol{u}_{k}^{*}(\boldsymbol{r}) \mathrm{e}^{i \omega_{k} t}\right]

则，与之对应的电场为：

\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, t)=i \sum_{k}\left(\frac{\hbar \omega_{k}}{2 \varepsilon_{0}}\right)^{1 / 2}\left[a_{k} \boldsymbol{u}_{k}(\boldsymbol{r}) \mathrm{e}^{-i \omega_{k} t}-a_{k}^{\dagger} \boldsymbol{u}_{k}^{*}(\boldsymbol{r}) \mathrm{e}^{i \omega_{k} t}\right]

这里的 a_{k}^{\dagger} 与a_{k} 即为光场中的升降阶算符，其中k为标记不同光场的脚标。满足对易关系：

\left[a_{k}, a_{k^{\prime}}\right]=\left[a_{k}^{\dagger}, a_{k^{\prime}}^{\dagger}\right]=0, \quad\left[a_{k}, a_{k^{\prime}}^{\dagger}\right]=\delta_{k k^{\prime}}

在电磁学中电磁场的Hamiltonian为 H=\frac{1}{2} \int\left(\varepsilon_{0} \boldsymbol{E}^{2}+\mu_{0} \boldsymbol{H}^{2}\right) \mathrm{d} \boldsymbol{r}

带入计算得到的E有（这里两算符相乘要注意满足的对易关系）

H=\sum_{k} \hbar \omega_{k}\left(a_{k}^{\dagger} a_{k}+\frac{1}{2}\right)

这里就可以得到量子化的电磁场。

remark：因为 N=a_{k}^{\dagger} a_{k} 代表的是光子数所以可以发现在n=0（即真空态）时也会有 \frac{1}{2} \hbar \omega_{k} 的能量。这就可以有很多新奇的现象，比如蔡老师的一篇文章。挖坑：有时间我也试着去调研，并使用matlab复现一下论文中的一些结论。

浅斟低唱：荡起量子的秋千——从参变共振到光子的诞生​zhuanlan.zhihu.com

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二、Fock态或粒子数态（fock老是拼错为fork，英语渣渣）

这就是一般最常见的表示的态，由于Hamiltonian具有 h \omega_{k}\left(n_{k}+\frac{1}{2}\right) 的本征值，其中 n_k 自然数。则一种自然的想法就是用 \left|n_{k}\right\rangle 来表示H的本征态。我们就称这个态为Fock态或者是粒子数态。其中N=a_{k}^{\dagger} a_{k}为粒子数算符

a_{k}^{\dagger} a_{k}\left|n_{k}\right\rangle= n_{k}\left|n_{k}\right\rangle

将a_{k}^{\dagger} 与a_{k}作用到\left|n_{k}\right\rangle上有

a_{k}\left|n_{k}\right\rangle= n_{k}^{1 / 2}\left|n_{k}-1\right\rangle, \quad a_{k}^{\dagger}\left|n_{k}\right\rangle=\left(n_{k}+1\right)^{1 / 2}\left|n_{k}+1\right\rangle

特别的对于基态 a_{k}|0\rangle= 0 ，这也很好的反应出为什么叫升降阶算符。

对任意一个态\left|n_{k}\right\rangle有 \left|n_{k}\right\rangle=\frac{\left(a_{k}^{\dagger}\right)^{n_{k}}}{\left(n_{k} !\right)^{1 / 2}}|0\rangle, \quad n_{k}=0,1,2 \ldots

这很明显可以得到：

• 正交归一性： \left\langle n_{k} | m_{k}\right\rangle=\delta_{m n}
• 完备性： \sum_{n_{k}=0}^{\infty}\left|n_{k}\right\rangle\left\langle n_{k}\right|=1

remark：fock态是最常见的一种表示方法，同时也是最直观的。往后的一些描述最好可以有直观的描述，这有助于理解。

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三、相干态（qzxnb）

对于相干光其光子数是不确定的，但是其满足不确定性原理的下限。为了描述这种相干光，我们需要引入相干态，而只需要简单的对 \left|n_{k}\right\rangle 作幺正变化即可。

D(\alpha)=\exp \left(\alpha a^{\dagger}-\alpha^{*} a\right) 其中 \alpha 为任意的一个复数。

引理1：当 [A,[A, B]]=[B,[A, B]]=0 时有 \mathrm{e}^{A+B}=\mathrm{e}^{A} \mathrm{e}^{B} \mathrm{e}^{-[A, B] / 2}

化简得到 D(\alpha)=\mathrm{e}^{-|\alpha|^{2} / 2} \mathrm{e}^{\alpha a^{\dagger}} \mathrm{e}^{-\alpha^{*} a} ，进而研究 D(\alpha) 的性质：

• D^{\dagger}(\alpha)=D^{-1}(\alpha)=D(-\alpha)
• D^{\dagger}(\alpha) a D(\alpha)=a+\alpha
• D^{\dagger}(\alpha) a^{\dagger} D(\alpha)=a^{\dagger}+\alpha^{*}
• D(\alpha+\beta)=D(\alpha) D(\beta) \exp \left(-\mathrm{i} \operatorname{Im}\left\{\alpha \beta^{*}\right\}\right)

故，相干态 |\alpha\rangle |\alpha\rangle 可由D(\alpha)作用在基态上产生： |\alpha\rangle= D(\alpha)|0\rangle

同时可得|\alpha\rangle为算符a的本征态， a|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle 。

证明过程： D^{\dagger}(\alpha) a|\alpha\rangle= D^{\dagger}(\alpha) a D(\alpha)|0\rangle=(a+\alpha)|0\rangle=\alpha|0\rangle ，之后俩边在同时乘 D(\alpha) 。这里因为a为非厄米算符，所以\alpha 为复数。

在 a|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle 两边同时乘上 \langle n| 有 (n+1)^{1 / 2}\langle n+1 | \alpha\rangle=\alpha\langle n | \alpha\rangle

即 \langle n | \alpha\rangle=\frac{\alpha^{n}}{(n !)^{1 / 2}}\langle 0 | \alpha\rangle

所以|\alpha\rangle可以表示为 |\alpha\rangle=\sum|n\rangle\langle n | \alpha\rangle=\langle 0 | \alpha\rangle \sum_{n} \frac{\alpha^{n}}{(n !)^{1 / 2}}|n\rangle

又因为通过计算有： \langle 0 | \alpha\rangle= e^{-|\alpha|^{2} / 2} ，则

|\alpha\rangle=\mathrm{e}^{-|\alpha|^{2} / 2} \sum \frac{\alpha^{n}}{(n !)^{1 / 2}}|n\rangle

光子数分布为： P(n)=|\langle n | \alpha\rangle|^{2}=\frac{|\alpha|^{2 n} \mathrm{e}^{-|\alpha|^{2}}}{n !} 其中平均光子数为 \bar{n}=\left\langle\alpha\left|a^{\dagger} a\right| \alpha\right\rangle=|\alpha|^{2}

• 对于两个相干态来说有： \langle\beta | \alpha\rangle=\left\langle 0\left|D^{\dagger}(\beta) D(\alpha)\right| 0\right\rangle =\exp \left[-\frac{1}{2}\left(|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}\right)+\alpha \beta^{*}\right]则

则 |\langle\beta | \alpha\rangle|^{2}=\mathrm{e}^{-|\alpha-\beta|^{2}} 当 |\alpha-\beta| \gg 1 时两个相干态 |\alpha\rangle 与 |\beta\rangle 相互正交

• 同时态|\alpha\rangle也存在完备性： \frac{1}{\pi} \int|\alpha\rangle\langle\alpha| \mathrm{d}^{2} \alpha=1

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四、Squeezed States（压缩态？）

Squeezed States是更满足最小不确定性原理的更广义的态，相干态为其中是一种特殊的形式。

若我们令 a=\frac{X_{1}+\mathrm{i} X_{2}}{2} 由a_{k}^{\dagger}与a_{k}的对易关系我们可以得到： \left[X_{1}, X_{2}\right]=2 \mathrm{i}

且X1、X2满足不确定关系 \Delta X_{1} \Delta X_{2} \geq 1 ，特别的当 \Delta X_{1}=\Delta X_{2}=1 时即为相干态。

图1；(a)相干态(b)Squeezed State

如图，当\Delta X_{1}=\Delta X_{2}=1为相干态；相干态 |\alpha\rangle 振幅的平均值为为 \alpha 对应图中的圆心，圆代表误差范围；当X1、X2任意时就是Squeezed state |\alpha, \varepsilon\rangle

同在相干态中的操作，Squeezed state也可以由幺正变化作用在相干态上来生成。 |\alpha, \varepsilon\rangle= D(\alpha) S(\varepsilon)|0\rangle

其中， S(\varepsilon)=\exp \left(1 / 2 \varepsilon^{*} a^{2}-1 / 2 \varepsilon a^{\dagger 2}\right) 。 \varepsilon 为Squeezed state对应的下标\varepsilon=r \mathrm{e}^{2 \mathrm{i} \phi}

S(\varepsilon) 满足的一些性质：

• S^{\dagger}(\varepsilon)=S^{-1}(\varepsilon)=S(-\varepsilon)
• S^{\dagger}(\varepsilon) a S(\varepsilon)=a \cosh r-a^{\dagger} \mathrm{e}^{-2 \mathrm{i} \phi} \sinh r
• S^{\dagger}(\varepsilon) a^{\dagger} S(\varepsilon)=a^{\dagger} \cosh r-a \mathrm{e}^{-2 \mathrm{i} \phi} \sinh r
• S^{\dagger}(\varepsilon)\left(Y_{1}+\mathrm{i} Y_{2}\right) S(\varepsilon)=Y_{1} \mathrm{e}^{-r}+\mathrm{i} Y_{2} \mathrm{e}^{r} ，其中 Y_{1}+\mathrm{i} Y_{2}=\left(X_{1}+\mathrm{i} X_{2}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \phi}

则Squeezed States对应不同的满足 \Delta X_{1} \Delta X_{2} \ge 1 的 \Delta X_{1}、\Delta X_{2} ，且某一个小于相干态。

图2；黑色点处代表相干态，阴影部分代表Squeezed state

 

一般压缩态|\alpha, \varepsilon\rangle中 r=|\boldsymbol{\varepsilon}| 称为压缩因子。

在Squeezed state表象下：

• \left\langle X_{1}+\mathrm{i} X_{2}\right\rangle=\left\langle Y_{1}+\mathrm{i} Y_{2}\right\rangle \mathrm{e}^{\mathrm{i} \phi}=2 \alpha
• \Delta Y_{1}=\mathrm{e}^{-r}, \Delta Y_{2}=\mathrm{e}^{r}
• \langle N\rangle=\left|\alpha^{2}\right|+\sinh ^{2} r
• (\Delta N)^{2}=\left|\alpha \cosh r-\alpha^{*} \mathrm{e}^{2 i \phi} \sinh r\right|^{2}+2 \cosh ^{2} r \sinh ^{2} r

对应的物理图像可以理解为图1的坐标旋转。

p.s.压缩态的光子数分布：

对于态 |\alpha, r\rangle 其光子数分布为 p(n)=(n ! \cosh r)^{-1}\left[\frac{1}{2} \tanh r\right]^{n} \exp \left[-|\alpha|^{2}-\frac{1}{2} \tanh r\left(\left(\alpha^{*}\right)^{2} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \phi}+\alpha^{2} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \phi}\right)\right]\left|H_{n}(z)\right|^{2}

其中 z=\frac{\alpha+\alpha^{*} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \phi} \tanh r}{\sqrt{2 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \phi} \tanh r}} 可以将其视为一种广义的泊松分布。

当压缩率r过大时，其光子数分布会随n震荡。

五、双光子的相干态

当然，也可以使用另一种方法来定义压缩态。

我们定义：若 b=\mu a+v a^{\dagger} 且 |\mu|^{2}-|v|^{2}=1 ，则 \left[b, b^{\dagger}\right]=1

可以通过变换由a得到b，即 b=U a U^{\dagger}

对于b的本征值问题有 b|\beta\rangle_{\mathrm{g}}=\beta|\beta\rangle_{\mathrm{g}} ，其中 |\beta\rangle_{\mathrm{g}}=U|\beta\rangle 。 |\beta\rangle 为a的本征态。

可以证明 |\beta\rangle_{\mathrm{g}} 的方向是与相干态的方向平行的。所以我们可以使用基态来得到 |\beta\rangle_{\mathrm{g}} ，即

|\beta\rangle_{\mathrm{g}}=D_{\mathrm{g}}(\beta)|0\rangle_{\mathrm{g}} 其中 D_{\mathrm{g}}(\beta)=\mathrm{e}^{\beta \mathrm{b}^{\dagger}-\beta^{*} b} ， |0\rangle_{\mathrm{g}}=U|0\rangle 这里 |\beta\rangle_{\mathrm{g}} 就是双光子的相干态。

可以发现双光子态是完备的， \int|\beta\rangle_{\mathrm{g}} g\langle\beta| \frac{\mathrm{d}^{2} \beta}{\pi}=1

而其模为 \mathrm{g}\left\langle\beta | \beta^{\prime}\right\rangle_{\mathrm{g}}=\exp \left(\beta^{*} \beta^{\prime}-\frac{1}{2}|\beta|^{2}-\frac{1}{2}\left|\beta^{\prime}\right|^{2}\right)

这时我们发现若令 U=S(\varepsilon) ，当 \mu=coshr 且则双光子的相干态与压缩态是一样的。即： |\beta\rangle_{\mathrm{g}}=S(\varepsilon) D(\beta)|0\rangle

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六、电场中的方差

当我们通过X1与X2来表述电场时： E(\boldsymbol{r}, t)=\frac{1}{\sqrt{L^{3}}}\left(\frac{\hbar \omega}{2 \varepsilon_{0}}\right)^{1 / 2}\left[X_{1} \sin (\omega t-\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r})-X_{2} \cos (\omega t-\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r})\right]

可以很容易得到其方差为 \begin{aligned} V(E(\boldsymbol{r}, t))=& K\left\{V\left(X_{1}\right) \sin ^{2}(\omega t-\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r})+V\left(X_{2}\right) \cos ^{2}(\omega t-\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r})\right.\\ &\left.-\sin [2(\omega t-\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r})] V\left(X_{1}, X_{2}\right)\right\} \end{aligned}

其中： \begin{aligned} K &=\frac{1}{L^{3}}\left(\frac{2 \hbar \omega}{\varepsilon_{0}}\right) \\ V\left(X_{1}, X_{2}\right) &=\frac{\left\langle\left(X_{1} X_{2}\right)+\left(X_{2} X_{1}\right)\right\rangle}{2}-\left\langle X_{1}\right\rangle\left\langle X_{2}\right\rangle \end{aligned}

由于最小不确定性原理 V\left(X_{1}, X_{2}\right)=0 ，有 V(E(\boldsymbol{r}, t))=K\left[V\left(X_{1}\right) \sin ^{2}(\omega t-\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r})+V\left(X_{2}\right) \cos ^{2}(\omega t-\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r})\right]

图为电场的平均值与不确定度的关系，使用线条的粗细代表不确定度的大小。

由图中可以看出来：相干态（a）的方差均匀分布，这可以用上述的误差图看出，相干态的误差为圆形；而对于压缩态(b)(c），由于其误差为椭圆会呈现出不同的图案来。

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七、Multimode Squeezed States

正如上面我们讨论到的，对于单一模的态不会存在压缩态，即压缩态存在于多模中。

双模的压缩态可以定义为 \left|\alpha_{+}, \alpha_{-}\right\rangle= D_{+}\left(\alpha_{+}\right) D_{-}\left(\alpha_{-}\right) S(G)|0\rangle

其中，位移算符 D_{\pm}(\alpha)=\exp \left(\alpha a_{\pm}^{\dagger}-\alpha^{*} a_{\pm}\right) ，幺正算符 S(G)=\exp \left(G^{*} a_{+} a_{-}-G a_{+}^{\dagger} a_{-}^{\dagger}\right)

对幺正算符有 S^{\dagger}(G) a_{\pm} S(G)=a_{\pm} \cosh r-a_{\mp}^{\dagger} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} \sinh r 其中 G=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}

由上述有： \begin{aligned} \left\langle a_{\pm}\right\rangle &=\alpha_{\pm} \\ \left\langle a_{\pm} a_{\pm}\right\rangle &=\alpha_{\pm}^{2} \\ \left\langle a_{+} a_{-}\right\rangle &=\alpha_{+} \alpha_{-}-\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} \sinh r \cosh r \\ \left\langle a_{\pm}^{\dagger} a_{\pm}\right\rangle &=\left|\alpha_{\pm}\right|^{2}+\sinh ^{2} r \end{aligned}

我们可以定义一个正交算符 X=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a_{+}+a_{+}^{\dagger}+a_{-}+a_{-}^{\dagger}\right)

则这个算符的平均值与方差分别为： \begin{aligned} \langle X\rangle &= 2\left(\operatorname{Re}\left\{\alpha_{+}\right\}+\operatorname{Re}\left\{\alpha_{-}\right\}\right) \\ V(X) &=\left(\mathrm{e}^{-2 r} \cos ^{2} \frac{\theta}{2}+\mathrm{e}^{2 r} \sin ^{2} \frac{\theta}{2}\right) \end{aligned}