函数的极值[极值点]

本文转载自查看原文 2019-11-26 18:27 286 02教学反思

前言

常规思路

给定函数，用导数法求数字系数的函数极值的步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数$f'(x)$；

③解方程$f'(x)＝0$，求出在函数定义域内的所有根；

④列表检验$f'(x)$在$f'(x)＝0$的根$x_0$左右两侧值的符号．

⑤由表格得到极值和极值点；

用导数法求字母系数的函数极值的步骤：

需要分类讨论；每一种情形都对应上述的求解步骤；

有两个极值点求参

【姊妹题1】(2017$\cdot$安徽合肥模拟)已知函数$f(x)=xlnx-ae^x$有两个极值点，则实数$a$的取值范围是【】

$A.(0，\cfrac{1}{e})$ $B.(0，e)$ $C.(\cfrac{1}{e}，e)$ $D.(-\infty，e)$

【法1】：函数$f'(x)=lnx+1-ae^x=0$有两个变号零点，

即函数$g(x)=lnx+1(x>0)$与函数$h(x)=ae^x(x>0)$有两个不同的交点；

仿上题的法1，求得两条曲线相切时的$a=\cfrac{1}{e}$，

结合图像可知，要使两个函数有两个不同的交点，

则有$0< a <\cfrac{1}{e}$，故选A。

【法2】：函数$f'(x)=lnx+1-ae^x=0$有两个变号零点，

分离参数得到，$a=\cfrac{lnx+1}{e^x}$，

仿上例法2，求得$0< a <\cfrac{1}{e}$，故选A。

已知函数$f(x)=x(lnx-ax)$有两个极值点，求$a$的取值范围【】

$A.(-\infty，0)$ $B.(0，\cfrac{1}{2})$ $C.(0，1)$ $D.(0，+\infty)$

法1：函数$f(x)=x(lnx-ax)$有两个极值点，即导函数$f'(x)=lnx+1-2ax$有两个变号零点，

即方程$lnx=2ax-1$有两个不同实数根，即函数$y=lnx$与函数$y=2ax-1$有两个不同的交点，作出图像如右图；

设恒过定点的函数$y=2ax-1$与函数$y=lnx$相切于点$(x_0，y_0)$，

则$\begin{cases}2a=\cfrac{1}{x_0}\\y_0=2ax_0-1\\y_0=lnx_0\end{cases}$，

解得$x_0=1，y_0=0$，即切点为$(1，0)$，此时直线的斜率为$k=1$，

由图像可知，要使函数$y=lnx$与函数$y=2ax-1$有两个不同的交点，

则$0<2a<1$，即$a\in(0，\cfrac{1}{2})$，故选B.

法2：转化为导函数$f'(x)=lnx+1-2ax$有两个变号零点，

分离参数得到，方程$2a=\cfrac{lnx+1}{x}$有两个不同的实根，

令$g(x)=\cfrac{lnx+1}{x}$，定义域为$x>0$，$g'(x)=\cfrac{-lnx}{x^2}$，

则$x\in(0，1)$时，$g'(x)>0$，函数$g(x)$单调递增，

$x\in(1，+\infty)$时，$g'(x)<0$，函数$g(x)$单调递减，

故$g(x)_{max}=g(1)=1$，

作出函数$y=g(x)$和$y=2a$的图像于同一个坐标系中，

则得到$0<2a<1$，即$a\in(0，\cfrac{1}{2})$，故选$B$.

【2019届高三理科数学二轮用题】若函数$f(x)=(a+1)e^{2x}-2e^x+(a-1)x$有两个极值点，则实数$a$的取值范围是【】

$A.(0，\cfrac{\sqrt{6}}{2})$ $B.(1，+\cfrac{\sqrt{6}}{2})$ $C.(-\cfrac{\sqrt{6}}{2}，+\cfrac{\sqrt{6}}{2})$ $D.(\cfrac{\sqrt{6}}{3}，1)\cup(1，\cfrac{\sqrt{6}}{2})$

分析：函数$f(x)$有两个极值点，则方程$f'(x)=0$有两个不同实根，且是变号实根；

即$f'(x)=2(a+1)e^{2x}-2e^x+(a-1)=0$有两个不同实根，令$e^x=t>0$，

则方程$2(a+1)t^2-2t+(a-1)=0$有两个不同的正实根，

则其必然满足$\left\{\begin{array}{l}{\Delta=4-4\times2(a^2-1)>0}\\{-\cfrac{-2}{2\times 2(a+1)}>0}\\{\cfrac{a-1}{2(a+1)}>0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{-\cfrac{\sqrt{6}}{2}<a<\cfrac{\sqrt{6}}{2}}\\{a>1}\\{a<-1或a>1}\end{array}\right.$，

则$1<a<\cfrac{\sqrt{6}}{2}$。故选$B$。

【同源题，2013湖北卷】已知$a$为常数，函数$f(x)=x(lnx-ax)$有两个极值点$x_1，x_2(x_1 < x_2)$，则【】

$A.f(x_1)>0，f(x_2)>-\cfrac{1}{2}$

$B.f(x_1)<0，f(x_2)<-\cfrac{1}{2}$

$C.f(x_1)>0，f(x_2)<-\cfrac{1}{2}$

$D.f(x_1)<0，f(x_2)>-\cfrac{1}{2}$

分析：同于上例2的不完全分离参数法，可以求得函数$f(x)$有两个极值点时的条件是$0< a <\cfrac{1}{2}$，

再者，由两个函数$y=lnx$和$y=2ax-1$有两个交点的图像，可以直观得到$x_1< 1 < x_2$，

且由$f'(x)=lnx-2ax+1=lnx-(2ax-1)$，以及图像可知，$f'(x) >0$在$(x_1，x_2)$上恒成立，

故$f(x)$在$(x_1，x_2)$上单调递增，则有$f(x_1)< f(1) =-a <0$，$f(x_2) > f(1) =-a >-\cfrac{1}{2}$，

故选$D$。

已知函数$f(x)=(2-a)lnx+\cfrac{1}{2}x^2-2ax$有两个极值点$x_1，x_2（x_1\neq x_2）$，求实数$a$的取值范围；

【分析】先将题目转化为导函数$y=f'(x)$有两个变号零点，再利用导函数的分子函数即二次函数有两个正值的变号零点解答；

【解答】定义域为$(0，+∞)$，原函数有两个不相等的正的极值点，则导函数$y=f'(x)$有两个正值变号零点，

$f'(x)=\cfrac{2-a}{x}+x-2a=\cfrac{x^2-2ax+2-a}{x}$，

令$g(x)=x^2-2ax+2-a$，则需要$\left\{\begin{array}{l}{△>0}\\{-\cfrac{-2a}{2}>0}\\{g(0)>0}\end{array}\right.$，

即$\left\{\begin{array}{l}{a<-2，a>1}\\{a>0}\\{a<2}\end{array}\right.$，即得到$1<a<2$。

若函数$f(x)=\cfrac{1}{2}x^2-2x+alnx$有两个不同的极值点，则实数$a$的取值范围是___________。

提示：仿照上述例4求解，$a\in (0,1)$；

存在极值点求参

【2018北京卷19题】设函数$f(x)=[ax^2-(3a+1)x+3a+2]e^x$，

(1).若曲线$y=f(x)$在点$(2，f(2))$处的切线斜率为$0$，求$a$；

分析：$f'(x)=[ax^2-(a+1)x+1]e^x$，

$f'(2)=(2a-1)e^x$，由$f'(2)=0$，解得$a=\cfrac{1}{2}$，

经检验，$a=\cfrac{1}{2}$满足题意；

(2).若函数$f(x)$在$x=1$处取得极小值，求$a$的取值范围；

法1：为什么想到分类讨论和求导？^[1]

由(1)知，$f'(x)=[ax^2-(a+1)x+1]e^x=(ax-1)(x-1)e^x$，

用$y=(ax-1)(x-1)$说明；首先讨论最简单的情形，

当$a=0$时，$x\in (-\infty,1)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；$x\in (1,+\infty)$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；

在$x=1$处取到极大值，不符合题意，舍去；

当$a<0$时，令$f'(x)=0$，得到$x=1$或$x=\cfrac{1}{a}$，且有$\cfrac{1}{a}<0<1$

$x\in (-\infty,\cfrac{1}{a})$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；$x\in (\cfrac{1}{a}，1)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；$x\in (\cfrac{1}{a},+\infty)$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；

在$x=1$处取到极大值，不符合题意，舍去；

当$0<\cfrac{1}{a}<1$时，即$a>1$，则当$x\in (-\infty,\cfrac{1}{a})$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x\in (\cfrac{1}{a},1)$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；当$x\in (1，+\infty)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；则$f(x)$在$x=1$处取得极小值；符合题意；

当$\cfrac{1}{a}=1$时，即$a=1$，则$f'(x)=(x-1)^2e^x\geqslant 0$恒成立，$f(x)$在$x\in (-\infty,+\infty)$上单调递增，此时无极值，不符题意；

当$\cfrac{1}{a}>1$时，即$0<a<1$，则当$x\in (-\infty,1)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x\in (1,\cfrac{1}{a})$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；当$x\in (\cfrac{1}{a}，+\infty)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；此时则$f(x)$在$x=1$处取得极大值；不符合题意；

综上可知，$a$的取值范围为$(1，+\infty)$；

法2：如果只考虑$x=1$的极值的情形，不计其余，也可简解如下，

由于函数$f(x)$在$x=1$处取得极小值，且$f'(x)=[ax^2-(a+1)x+1]e^x=(ax-1)(x-1)e^x$，以及$e^x>0$恒成立，

则需要导函数$f'(x)$的图像满足$f'(1)=0$，且导函数在$x=1$处的值满足左负右正；

令$g(x)=(ax-1)(x-1)$，故只需要$a>0$，且$\cfrac{1}{a}<1$，解得$a>1$，

故$a$的取值范围为$(1，+\infty)$；

【2019大同模拟】已知函数$f(x)=\cfrac{1+lnx}{x}$，若函数$f(x)$在区间$(a，a+\cfrac{1}{2})$上存在极值，求正实数$a$的取值范围；

分析：定义域为$(0，+\infty)$，$f'(x)=-\cfrac{lnx}{x^2}$

当$x\in (0，1)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增，

当$x\in (1，+\infty)$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减，

故$x=1$为函数的极大值点，且是唯一极值点；

故必满足$0<a<1<a+\cfrac{1}{2}$，即$a\in (\cfrac{1}{2}，1)$;

【2019临汾调研】若函数$f(x)=\cfrac{x^3}{3}-\cfrac{a}{2}x^2+x+1$在区间$(\cfrac{1}{2}，3)$上有极值点，则$a$的取值范围是【】

$A.(2，\cfrac{5}{2})$ $B.[2，\cfrac{5}{2})$ $C.(2，\cfrac{10}{3})$ $D.[2，\cfrac{10}{3})$

分析：函数$f(x)$在区间$(\cfrac{1}{2}，3)$上有极值点，等价于$f'(x)=0$有$2$个不相等实根且在区间$(\cfrac{1}{2}，3)$内有根，

由$f'(x)=0$有$2$个不相等实根，则由$\Delta >0$，得到$a<-2$或$a>2$；

由$f'(x)=0$在区间$(\cfrac{1}{2}，3)$内有根，即$a=x+\cfrac{1}{x}$在区间$(\cfrac{1}{2}，3)$内有根，

又$x+\cfrac{1}{x}\in [2，\cfrac{10}{3})$，则$2\leqslant a<\cfrac{10}{3}$，

综上，$a$的取值范围是$a\in (2，\cfrac{10}{3})$，故选$C$；

【2020届高三文科训练】设$a\in R$，若函数$f(x)=e^x+ax$有大于零的极值点，则$a$的范围为【】

$A.a <-1$ $B.a>-1$ $C.a>-\cfrac{1}{e}$ $D.a<-\cfrac{1}{e}$

分析：$f'(x)=e^x+a$，由于函数$f(x)=e^x+ax$有大于零的极值点，

则$f'(x)=e^x+a=0$有大于零的解，即$a=-e^x$在$x>0$上有解，

即$a$的取值范围为函数$y=-e^x(x>0)$的值域；

而函数$y=-e^x(x>0)$的值域为$(-\infty，-1)$，则$a<-1$，故选$A$。

若函数$f(x)=2x^2-lnx$在其定义域的一个子区间$(k-1，k+1)$内存在最小值，则实数$k$的取值范围是________。

分析：定义域为$(0，+\infty)$，由于$f'(x)=4x-\cfrac{1}{x}$，令$f'(x)=0$，解得$x=\cfrac{1}{2}$为极小值点，也是最小值点，

则由$\left\{\begin{array}{l}{k-1\geqslant 0，定义域}\\{k-1<\cfrac{1}{2}<k+1}\end{array}\right.$，解得$k\in [1，\cfrac{3}{2})$；

【2019届高三理科数学资料用题】设函数$f(x)=\cfrac{e^x}{x^2}-k(\cfrac{2}{x}+lnx)$，($k$为常数)，

(1)当$k\leq 0$时，求函数$f(x)$的单调区间；

分析：函数的定义域为$(0，+\infty)$，

$f'(x)=\cfrac{e^x\cdot x^2-e^x\cdot 2x}{x^4}-k(-\cfrac{2}{x^2}+\cfrac{1}{x})$

$=\cfrac{e^x(x-2)}{x^3}-\cfrac{kx(x-2)}{x^3}=\cfrac{(x-2)(e^x-kx)}{x^3}$

【将上述分式看成三个部分，$y=x-2$和$y=e^x-kx$和$y=x^3$，每一个部分的正负必然会影响和决定整体的正负】

注意到$x^3>0$，当$k\leq 0$时，$e^x-kx>0$，故我们只需要借助$y=x-2(x>0)$的图像，就可以判断$f'(x)$的正负。

当$x\in (0，2)$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；

当$x\in (2，+\infty)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；

故单减区间为$(0，2)$，单增区间为$(2，+\infty)$。

(2)若函数$f(x)$在$(0，2)$内存在两个极值点，求$k$的取值范围。

法1：分类讨论法，

由(1)知，当$k\leq 0$时，函数$f(x)$在$(0，2)$内单调递增，

故$f(x)$在$(0，2)$内不存在极值点；

当$k > 0$时，设函数$g(x)=e^x-kx$，$x\in (0，+\infty)$，

由于$g'(x)=e^x-k=e^x-e^{lnk}$，

当$x\in (0，2)$时，$e^x \in (1，e^2)$，先考虑$g'(x)\ge 0$的情形，故由此找到分点$k=1$；

当$0< k \leq 1$时，$x\in (0，2)$时，$g'(x)=e^x-k >0$，

$y=g(x)$单调递增，故$g(x)_{min}=g(0)=1>0$；

故函数$f(x)$在$(0，2)$内单调递减，故不存在极值点；

当$k >1$时，则$x\in (0，lnk)$时，$g'(x)<0$，$g(x)$单调递减，

$x\in (lnk，+\infty)$时，$g'(x) >0$，$g(x)$单调递增，

所以函数$y=g(x)$的最小值为$g(lnk)=k(1-lnk)$，

那么函数$f(x)$在$(0，2)$内存在两个极值点应该等价于函数$g(x)$在$(0，2)$内存在两个极值点，

函数$g(x)$在$(0，2)$内存在两个极值点当且仅当

$\left\{\begin{array}{l}{g(0) >0}\\{g(lnk) <0}\\{g(2)>0}\\{0< lnk <2}\end{array}\right.$

即$\left\{\begin{array}{l}{e^0-0>0}\\{k(1-lnk) <0}\\{e^2-2k >0}\\{0< lnk <2}\end{array}\right.$

解得$e< k <\cfrac{e^2}{2}$；

综上所述，函数$f(x)$在$(0，2)$内存在两个极值点，则$k\in (e，\cfrac{e^2}{2})$。

法2：由于函数$f(x)$在$(0，2)$内存在两个极值点，

则函数$y=f'(x)$在区间$(0，2)$内存在两个零点，且为变号零点，

又$f'(x)=\cfrac{(x-2)(e^x-kx)}{x^3}$，则方程$f'(x)=\cfrac{(x-2)(e^x-kx)}{x^3}=0$在$(0，2)$内有两个不同的实根，

由于$x\in (0，2)$，即方程$e^x-kx=0$在$(0，2)$内有两个不同的实根，

分离参数，即方程$k=\cfrac{e^x}{x}$在$(0，2)$内有两个不同的实根，

即函数$y=k$和函数$h(x)=\cfrac{e^x}{x}$的图像在$(0，2)$内有两个不同的交点，

函数$y=h(x)$的定义域为$(-\infty，0)\cup(0，+\infty)$，

由于$h'(x)=\cfrac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\cfrac{e^x(x-1)}{x^2}$，

故$x\in (-\infty，0)$时，$h'(x)<0$，$h(x)$单调递减，

$x\in (0，1)$时，$h'(x)<0$，$h(x)$单调递减，

$x\in (1，+\infty)$时，$h'(x)>0$，$h(x)$单调递增，

又由于$h(1)=e$，根据以上做出函数$h(x)$的简图如下，

注意，本题目中只需要关注$h(x)$的$x\in (0，2)$这一段，

由图像可知，两个函数的图像在$(0，2)$内要有两个不同的交点，则$k\in (e，\cfrac{e^2}{2})$。

故函数$f(x)$在$(0，2)$内存在两个极值点，则$k\in (e，\cfrac{e^2}{2})$。

已知$|\vec{a}|=2|\vec{b}|$，$|\vec{b}| \neq 0$，且关于$x$的函数$f(x)=\cfrac{1}{3}x^3+\cfrac{1}{2}|\vec{a}|x^2+\vec{a}\cdot \vec{b}x$在$R$上有极值，则$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角范围是【】

$A.[0，\cfrac{\pi}{6})$ $B.(\cfrac{\pi}{3}，\pi]$ $C.(\cfrac{\pi}{3}，\cfrac{2\pi}{3}]$ $D.(\cfrac{\pi}{6}，\pi]$

分析：函数$f(x)=\cfrac{1}{3}x^3+\cfrac{1}{2}|\vec{a}|x^2+\vec{a}\cdot \vec{b}x$在$R$上有极值，

其充要条件是其导函数$y=f'(x)$存在变号零点，

$f'(x)=x^2+|\vec{a}|x+\vec{a}\cdot \vec{b}$，其$\Delta =|\vec{a}|^2-4\vec{a}\cdot \vec{b}>0$，

设$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为$\theta$，

则$4|\vec{b}|^2-4\times 2|\vec{b}| \cdot |\vec{b}| cos\theta>0$，

即$cos\theta<\cfrac{1}{2}$，由于$\theta\in [0，\pi]$，

所以$\theta \in (\cfrac{\pi}{3}，\pi]$，故选$B$。

若函数$f(x)=x^4-ax^3+x^2-2$有且仅有一个极值点，则实数$a$的取值范围是___________。

分析：$f'(x)=4x^3-3ax^2+2x=x(4x^2-3ax+2)$，

函数$f(x)=x^4-ax^3+x^2-2$有且仅有一个极值点，

其充要条件是因子函数$h(x)=4x^2-3ax+2$不存在变号零点，

即$\Delta=9a^2-32\leq 0$，解得$-\cfrac{4\sqrt{2}}{3}\leq x\leq \cfrac{4\sqrt{2}}{3}$，

即$a\in [-\cfrac{4\sqrt{2}}{3}，\cfrac{4\sqrt{2}}{3}]$。

【2019届高三理科数学三轮用题】已知函数$f(x)=\cfrac{1}{2}x^2+(a-e)x-aelnx+b$，(其中$a，b\in R$，$e$为自然对数的底数)在$x=e$处取得极大值，则实数$a$的取值范围是【】

$A.(-\infty，0)$ $B.[0，+\infty)$ $C.[-e，0)$ $D.(-\infty，-e)$

分析：$f'(x)=x+(a-e)-\cfrac{ae}{x}=\cfrac{x^2+(a-e)x-ae}{x}=\cfrac{(x+a)(x-e)}{x}$，

做出分子函数的简图，由图可知，$-a>e$，解得$a<-e$，故选$D$。

讨论极值点个数

【2019渭南模拟改编】已知函数$f(x)=lnx-ax(a\in R)$，试讨论函数$f(x)$在定义域内的极值点个数；

分析：定义域为$(0，+\infty)$，$f'(x)=\cfrac{1}{x}-a=\cfrac{1-ax}{x}(x>0)$，[用图像说明]

当$a\leqslant 0$时，$f'(x)>0$在$(0，+\infty)$上恒成立，

故$f(x)$在$(0，+\infty)$上单调递增，此时函数无极值点；

当$a>0$时，令$f'(x)=0$得到$x=\cfrac{1}{a}$，

则$x\in (0，\cfrac{1}{a})$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增，

$x\in (\cfrac{1}{a}，+\infty)$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减，

故函数在$x=\cfrac{1}{a}$处有极大值，无极小值；

综上所述，当$a\leqslant 0$时，函数$f(x)$无极值点；

当$a>0$时，函数$f(x)$有一个极大值点$x=\cfrac{1}{a}$，无极小值点。

【2019豫南九校质量考评】若函数$f(x)=x(x-c)^2$在$x=2$处有极小值，则常数$c$的值为【】

$A.4$ $B.2或6$ $C.2$ $D.6$

分析：$f'(x)=3x^2-4cx+c^2$，又函数$f(x)=x(x-c)^2$在$x=2$处有极小值，

则$f'(2)=3\times2^2-8c+c^2=0$，解得$c=2$或$c=6$，接下来验证如下：

当$c=2$时，$f'(x)=3x^2-8x+4=(3x-2)(x-2)$，故$f(x)$在$x=2$处有极小值，符合题意；

当$c=6$时，$f'(x)=3x^2-24x+36=(3x-6)(x-6)$，故$f(x)$在$x=2$处有极大值，不符合题意；

故$c=2$，则选$C$。

【2019郑州质检】若函数$f(x)$存在$n-1(n\in N^*)$个极值点，则称函数$f(x)$为$n$折函数，例如函数$f(x)=x^2$为$2$折函数，已知函数$f(x)=(x+1)e^x-x(x+2)^2$，则$f(x)$为【】折函数；

$A.2$ $B.3$ $C.4$ $D.5$

分析：$f'(x)=(x+2)e^x-(x+2)(3x+2)=(x+2)(e^x-3x-2)$，

令$f'(x)=0$，则得到$x=-2$或$e^x=3x+2$

易知$x=-2$为其一个极值点，又$e^x=3x+2$

结合图像可知，$y=e^x$和$y=3x+2$有两个交点，

[还需要验证]$e^{-2}\neq 3\times (-2)+3=-4$，

故函数$f(x)$有三个极值点，即函数为$4$折函数，故选$C$。

【2019届高三理科数学资料用题】已知$a，b$是实数，$1$和$-1$是函数$f(x)=x^3+ax^2+bx$的两个极值点，

(1)求$a、b$的值；

分析：由题目可知，$f'(x)=3x^2+2ax+b$，

则由$\left\{\begin{array}{l}{f'(-1)=3-2a+b=0}\\{f'(1)=3+2a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，

经检验，$f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$，则$1$和$-1$是函数$f(x)$的两个极值点，满足题意。

【解后反思】由于可导函数$f(x)$，$f'(x_0)=0$是$x_0$为极值点的必要不充分条件，

故解方程后需要检验。

(2)设函数$g(x)$的导函数$g'(x)=f(x)+2$，求$g(x)$的极值点。

分析：由题可知，$g'(x)=f(x)+2=x^3-3x+2$，

【试商法，得知$x=1$为函数$g'(x)$的零点，故分组分解如下】

$g'(x)=x^3-1-3x+3=(x-1)(x^2+x+1)-3(x-1)$

$=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)^2(x+2)$，

如果题目是选择或填空题，则利用穿根法做出函数$g'(x)$的简图，

由图像可知，$x=1$不是极值点，$x=-2$是极小值点。

解答题时则这样做，

当$x\in (-\infty，-2)$，$g'(x)<0$，则$g(x)$单调递减；

当$x\in (-2，1)$，$g'(x)>0$，则$g(x)$单调递增；

当$x\in (1，+\infty)$，$g'(x)>0$，则$g(x)$单调递增；

故$x=-2$是函数$g(x)$的极小值点，$x=1$不是极值点。

注意：$x=-2$是导函数$y=g'(x)$的变号零点，

$x=1$是导函数$y=g'(x)$的不变号零点。

【2016山东】

暂补充第二问的思路二，

$f'(x)=lnx-2a(x-1)$，借助函数$y=lnx$和函数$y=2a(x-1)(a>0)$的图像，分类讨论如下：

先需要证明不等式$x-1\geqslant lnx$；证明思路

①当$2a=1$时，即$a=\cfrac{1}{2}$时，$x\in (0,+\infty)$时，$f'(x)=lnx-2a(x-1)\leqslant 0$恒成立，故$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，函数没有极值，不符合题意，舍去；

②当$0<2a<1$时，即$0<a<\cfrac{1}{2}$时，函数$y=lnx$与函数$y=2a(x-1)$有两个交点，其横坐标分别为$1$和$x_0(x_0>1)$，

则$x\in (0,1)$时，$f'(x)=lnx-2a(x-1)< 0$，故$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，

$x\in (1,x_0)$时，$f'(x)=lnx-2a(x-1)> 0$，故$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，

$x\in (x_0,+\infty)$时，$f'(x)=lnx-2a(x-1)< 0$，故$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，

故在$x=1$处取到极小值，不符题意，舍去；

③当$2a>1$时，即$a>\cfrac{1}{2}$时，函数$y=lnx$与函数$y=2a(x-1)$有两个交点，其横坐标分别为$1$和$x_0(0<x_0<1)$，

则$x\in (0,x_0)$时，$f'(x)=lnx-2a(x-1)< 0$，故$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，

$x\in (x_0,1)$时，$f'(x)=lnx-2a(x-1)> 0$，故$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，

$x\in (1,+\infty)$时，$f'(x)=lnx-2a(x-1)< 0$，故$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，

故在$x=1$处取到极大值，符合题意；

综上所述，$a\in (\cfrac{1}{2}，\infty)$。

待整理

已知函数$f(x)=\cfrac{1}{2}x+m+\cfrac{3}{2x}-lnx(m\in R)$，若$x_1$，$x_2$是函数$g(x)=x\cdot f(x)$的两个极值点，且$x_1<x_2$，求证：$x_1x_2<1$。

分析：待解答，极值点偏移问题；

之所以首先想到求导，是因为题目给定的是极值或者极值点，而极值或极值点首先和判断单调性相关联；
之所以想到分类讨论而不是分离参数的原因是，当参数的取值不同时，导函数的图像也随之不同，导函数的值的正负随之变化，故需要分类讨论。 ↩︎

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