定义
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
原理
设图 G=(V,E) 所有顶点的集合为 V，起点为 S，最短路径树中包含的顶点集合为 S。在各计算步骤中，我们将选出最短路径树的边和顶点并将其添加至S。
对于各顶点 i，设仅经由S内的顶点的 s 到 i 的最短路径成本为 d[i], i 在最短路径树中的父节点为 p[i]。
①初始状态下将 S 置空。
初始化 s 的 d[s]=0；除 s 外，所有属于 V 的顶点 i 的 d[i]=∞。
②循环进行下述处理，直至 S=V 为止。
从 V-S 中选出 d[u] 最小的顶点 u。
将 u 添加至 S,同时将与 u 相邻且属于 V-S 的所有顶点 v 的值按照下述方式更新
if(d[u] + w(u,v) < d[v])
d[v] = d[u] + w(u,v) , p[v] = u ;
❗ 显然迪杰斯特拉算法并不能处理负权图。下图中A->B的最短路应为 3=8-5，但用此算法算出来的A->B的最短路为7。
迪杰斯特拉最短路径算法和普利姆算法贼像。：）
实现
原算法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; const int maxn=1005; const int inf=0x3f3f3f3f; struct node { int v,w; node(){} node(int a,int b) {v=a;w=b;} }; vector<node> e[maxn]; int n,m; void dij(); int main() { int i,u,v,w; scanf("%d%d",&n,&m); for(i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); e[u].push_back(node(v,w)); } dij(); system("pause"); return 0; } void dij() { int dis[maxn],vis[maxn]={0},i,j,mmin,f; fill(dis,dis+maxn,inf); dis[1]=0; for(i=1;i<=n;i++) { mmin=inf; for(j=1;j<=n;j++) if(!vis[j]&&dis[j]<mmin) mmin=dis[f=j]; vis[f]=1; for(j=0;j<e[f].size();j++) { if(dis[e[f][j].v]>dis[f]+e[f][j].w) dis[e[f][j].v]=dis[f]+e[f][j].w; } } for(j=1;j<=n;j++) printf("1->%d %d\n",j,dis[j]); }
优先队列优化
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; const int maxn=1005; const int inf=0x3f3f3f3f; struct node { int v,w; node(){} node(int a,int b) {v=a;w=b;} bool operator <(const node &n) const {return w>n.w;} }; vector<node> e[maxn]; int n,m; void dij_queue(); int main() { int i,u,v,w; scanf("%d%d",&n,&m); for(i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); e[u].push_back(node(v,w)); } dij_queue(); system("pause"); return 0; } void dij_queue() { int dis[maxn],vis[maxn]={0},u,v,w,i; node p; priority_queue<node> que; que.push(node(1,0)); fill(dis,dis+maxn,inf); dis[1]=0; while(!que.empty()) { p=que.top();que.pop(); u=p.v; if(vis[u]) continue; vis[u]=1; for(i=0;i<e[u].size();i++) { w=e[u][i].w;v=e[u][i].v; if(!vis[v]&&dis[v]>dis[u]+w) { dis[v]=dis[u]+w; que.push(node(v,dis[v])); } } } for(i=1;i<=n;i++) printf("1->%d %d\n",i,dis[i]); }
挑战程序设计竞赛（第2版）