零点存在定理与介值定理

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Bolzano-Cauchy第一定理

设实数 a<b ，设 $f:\left[ a,b \right]\rightarrow\mathbb{R}$ 是在闭区间 $\left[ a,b \right]$ 上的连续函数，并且满足条件 $f\left( a \right)f\left( b \right)<0$ .

则存在点 $c\in\left( a,b \right)$ ，使得 $f\left( c \right)=0$

该定理又被称作零点定理、零值定理、零点存在定理、根的存在定理，等等

Bolzano-Cauchy第二定理

设 $f:\mathcal{X}\rightarrow\mathbb{R}$ 是定义在某区间 $\mathcal{X}$ 上的连续函数，设实数 a,b 是区间 $\mathcal{X}$ 内的两点，并且满足 a<b ，令 $f\left( a \right)\ne f\left( b \right)$ .

设 $\mu$ 为介于 $f\left( a \right)$ 与 $f\left( b \right)$ 之间的任意实数（要么 $f\left( a \right)<\mu<f\left( b \right)$ ，要么 $f\left( a \right)>\mu>f\left( b \right)$ ）

则存在点 $c\in\left( a,b \right)$ ，使得 $f\left( c \right)=\mu$

该定理又被称作介值定理、中间值定理等

它还经常被等价描述为：区间上连续函数的值域必为区间

从内容上，介值定理包含零值定理，但实际上二者是等价的，证明其中一个，就极其容易推出另一个. 一般先证明零值定理，再推出介值定理居多.

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