算法分析：均摊分析（Amortized Analysis）

均摊分析（Amortized Analysis）

聚合方法（Aggregate Method）

Aggregate 方法不够精确，下面的两种方法可以为每种操作分配不同的均摊代价，能够提供比较精确的上界。

记账方法（Accounting Method）

势能方法（Potential Method）

框架

1. 从一数据结构 \(D_0\) 开始
2. 第 i 次操作将 \(D_{i-1}\) 变为 \(D_i\)
3. 第 i 次操作的代价为 \(c_i\)

势能函数：
\(\Phi:\ \{D_i\} \rightarrow \mathbb{R}\)，其中，

• \(\Phi(D_0) = 0\)
• \(\Phi(D_i) \ge 0\)

均摊代价：\(\hat{c_i} = c_i + (\Phi(D_i) - \Phi(D_{i-1}))\)

均摊分析最核心的是不变式：\(\sum_{i=1}^n \hat{c_i} \ge \sum_{i=1}^n c_i\) 在整个操作序列中都成立。从 Accounting 方法的角度来看，就是账户余额非负；从 Potential 方法的角度来看，就是数据结构的势能非负。

记账法与势能法的视角不同：记账法关注的是每一步操作之后的账户余额，而势能法关注的是每一步的代价。