前言
“皮之不存，毛将焉附”，函数的定义域是函数及其性质存在的基础和依托；函数的定义说“函数是非空数集到非空数集的映射”，第一个非空数集就是定义域。所以一提起函数及其性质，我们往往先想到的就是函数的定义域。如果一个函数的定义域是空集，那么这个函数即使给出了所谓的解析式，也是空函数，没有研究的价值，因此数学老师常常强调的一句话就是“定义域优先”。
不同形式
自然定义域，比如给定\(g(x)=\ln(x-1)\)，则使得解析式有意义的值都属于定义域，即解\(x-1>0\)得到定义域为\((1,+\infty)\)；
限定定义域，比如已知函数\(f(x)=2x^2-3sinx\)，\(x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)，则这就是限定定义域；
实际问题定义域，比如线段长度为\(x\)，则至少必须满足\(x>0\)；
给出方式
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1、直接给出(限定定义域)；如函数\(f(x)，x\in D\)
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2、以函数解析式的形式给出(自然定义域)；如已知函数\(f(x)=lg\cfrac{x+2}{x-2}\)，求其定义域;要知道这个函数的定义域，我们自然需要解不等式\(\cfrac{x+2}{x-2}>0\)，由穿针引线法可得定义域为\(x\)\(\in\)\((-\infty,-2)\)\(\cup\)\((2,+\infty)\)。
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3、以图像的形式给出，如图所示，函数图像向\(x\)轴作正射影，就得到定义域；
向\(y\)轴作正射影，就得到值域。当然，你如果会用图像，那么由此图像还可以解不等式\(f(x)>0\)或\(f(x)\leq 0\)
- 4、以实际问题给出，比如\(x\)为某个线段的长度，则隐含\(x\ge 0\)，自然就不能取负值的。
求定义域
- 如果给定函数解析式，求定义域，转化为解不等式(组)；
分析：要使得解析式有意义，须满足\(\begin{cases}x^2-1\ge 0\\x-1>0\\ln(x-1)\neq 0\end{cases}\)，从而解得\(\{x\mid x>1且x\neq 2\}\)，即定义域为\((1，2)\cup(2，+\infty)\).
- 复合函数的定义域
分析：解决这类题目需要牢牢抓住两点：其一接受对应法则\(f\)作用的\(x\)和\(2x+1\)是处于对等位置的，
其二不论是给定函数的定义域还是求解函数的定义域，都是针对单独的自变量\(x\)而言，
据此可知由于\(-1\leq x\leq 1\)，故\(-1\leq 2x+1\leq 1\)，解得函数\(f(2x+1)\)的定义域是\(x\in [-1，0]\)。
分析：由上知，函数\(f(x)\)的定义域为\(x\in(-2，2)\)，故和自变量\(x\)对等的\(\cfrac{x}{2}\)和\(\cfrac{2}{x}\)也必须在这个范围内，
则有\(\begin{cases} -2<\cfrac{x}{2}<2 \\ -2<\cfrac{2}{x}<2 \end{cases}\)，解得\(x\in (-4，-1)\cup(1，4)\)。
分析：这里同样你得清楚\(x+1\)和\(2^x-2\)是对等的，先由\(x\in[0，1]\)，
计算得到\(1\leq x+1\leq 2\)，故\(1\leq 2^x-2\leq 2\)，
解得\(3\leq 2^x\leq 4\)，同时取以2为底的对数得到\(log_2^3\leq x\leq 2\)，
则所求定义域是\(x\in [log_2^3，2]\)。
- 分段函数的定义域
分析：分段函数的定义域是各段函数的定义域的并集，当然值域也是各段函数的值域的并集；
- 抽象函数的定义域(往往和复合函数不分家)
分析：由上面的例子分析可知，所给函数的定义域是\([-1，1]\)，即函数\(f(2x+1)\)的自变量\(x\)的取值范围是\([-1，1]\)，
故内函数\(2x+1\)的取值范围这样求解，由\(-1\leq x \leq 1\)，得到\(-2\leq 2x \leq 2\)，
所以\(-1=-2+1\leq 2x+1 \leq 2+1=3\)，又由于\(2x+1\)和\(x\)对等(你可以理解为这两个接受同样的纪律约束也行)，
所以\(f(x)\)的\(x\)的取值范围应该是\(-1\leq x\leq 3\)，故函数\(f(x)\)的定义域是\([-1，3]\)。
分析：本题目的定义域求解应该考虑两层要求，
其一需要解析式\(lg\cfrac{x^2}{x^2-4}\)有意义，
即\(\cfrac{x^2}{x^2-4}>0\)，解得\(x<-2\)或\(x>2①\)；
其二，令\(x^2-3=t\)，则\(t\ge -3\)，则\(x^2=t+3\)，\(x^2-4=t-1\)，
故原函数可以改写为\(f(t)=lg\cfrac{t+3}{t-1}(t\ge -3)\)，
即\(f(x)=lg\cfrac{x+3}{x-1}(x\ge -3)\)，
则在\(x\ge -3\)时，还必须\(\cfrac{x+3}{x-1}>0\)，解得\(x<-3\)或\(x>1\)，
故所求定义域必须同时满足条件
\(\left\{\begin{array}{l}{x<-2，x>2}\\{x\ge -3}\\{x<-3，x>1}\end{array}\right.\)，故定义域为\(x>2\)，即\((2，+\infty)\)；
总结：上述的解法是错误的，原因是解析式右端\(lg\cfrac{x^2}{x^2-4}\)中的\(x\)与\(f(x)\)中的\(x\)的内涵不一样，
\(f(x)\)中的\(x\)与\(f(x^2-3)\)中的\(x^2-3\)的整体是对等的，故需要先等价转化得到函数的解析式。
【正解】令\(x^2-3=t\)，则\(t\ge -3\)，则\(x^2=t+3\)，\(x^2-4=t-1\)，
故原函数可以改写为\(f(t)=lg\cfrac{t+3}{t-1}(t\ge -3)\)，
即\(f(x)=lg\cfrac{x+3}{x-1}(x\ge -3)\)，
则在\(x\ge -3\)时，还必须\(\cfrac{x+3}{x-1}>0\)，解得\(x<-3\)或\(x>1\)，
故所求定义域必须同时满足条件
\(\left\{\begin{array}{l}{x\ge -3}\\{x<-3，x>1}\end{array}\right.\)，故定义域为\(x>1\)，即\((1，+\infty)\)；
- 三角函数定义域
分析：由题目可知，\(|x|\leq 5①\)，且\(sinx>\cfrac{1}{2}②\)
解①得到\(-5\leq x\leq 5\)；解②得到\(2k\pi+\cfrac{\pi}{6}<x<2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)\)，
二者求交集，如右图所示，
得到定义域为\([-5，-\cfrac{7\pi}{6})\cup (\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{5\pi}{6})\)。
影响要素
- 当函数的图像发生变换时，其定义域和值域常常会随之发生变化，举例说明如下：
比如已知函数\(f(x)\)的定义域是\([1，5]\)，则\(x\in [1，5]\)
平移变换：则\(f(x+2)\)的定义域就变成了\([-1，3]\)，原因是\(1\leq x+2\leq 5\)，解得\(x\in [-1，3]\)；
伸缩变换：则\(2f(x)\)的定义域不做变化。
周期变换：则\(f(2x)\)的定义域就变成了\([\cfrac{1}{2}，\cfrac{5}{2}]\)，原因是\(1\leq 2x\leq 5\)，解得\(x\in[\cfrac{1}{2}，\cfrac{5}{2}]\)；
易错警示
- 当题目中明确要求定义域时，一般学生都不会出错，但是在解题中学生又非常容易犯错误，主要原因还是缺乏定义域优先考虑的意识。一般来说，只要是研究函数的问题，不管题目是否要求我们求解定义域，都应该先确定函数的定义域，否则研究的函数就是无源之水，无本之木。
分析：令\(g(x)=6-ax\)，像这类题目既要考虑单调性，还要考虑定义域，学生常犯的错误就是只考虑单调性而不顾及定义域。
由题目可知必有\(a>0\)，故函数\(g(x)\)单调递减，考虑定义域时只要最小值\(g(2)>0\)即可，解得\(6-2a>0\)，即\(a<3\)，
再考虑外函数必须是增函数，故\(a>1\)，综上可知，解得\(1<a<3\)，故选\(D\)。
引申：原题目改为在\([0，2)\)上为减函数，则实数\(a\)的取值范围是\(a\in (1，3]\)。
典例剖析
- 如果题目给出了函数的定义域，那么这时往往会转而求函数的其他性质，或者将已知的定义域转化为其他的命题。
分析：由题可知，分母函数\(y=mx^2+4mx+3\neq 0\)对任意\(x\in R\)都成立，分类讨论如下：
①当\(m=0\)时，\(y=3\neq 0\)对任意\(x\in R\)恒成立，故满足题意；
②当\(m\neq 0\)时，结合分母函数的图像可知，必须满足\(\left\{\begin{array}{l}{m>0}\\{\Delta <0}\end{array}\right.\)，
即\(\left\{\begin{array}{l}{m>0}\\{\Delta=(4m)^2-4\times 3m<0}\end{array}\right.\)，解得\(0<m<\cfrac{3}{4}\)；
综上所述，\(m\)的取值范围为\([0，\cfrac{3}{4})\)；
分析：\(f(3)+f(3)=f(3\times3)=f(9)=2\)， \(f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)]\leq 2=f(9)\)，
等价转化为\(\begin{cases}x>0\\x-8>0\\x(x-8)\leq 9\end{cases}\)， 解得\(8<x\leq 9\).
易错： 如果 \(f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)]\leq 2=f(9)\)，转化得到\(\begin{cases}x(x-8)>0\\x(x-8)\leq 9\end{cases}\)，这样的转化往往是不等价的，因为\(x(x-8)>0\)包含了\(x>0，x-8>0\)和\(x<0，x-8<0\)两种情形，由此我们得到的经验是求定义域是一般对函数的形式不做变形，
- 因为我们大多做不到等价变形；比如给定函数\(y=lgx^2\)，我们常常会化为\(y=2lgx\)，殊不知这样的变形是错误的，\(y=lgx^2\)的定义域是\((-\infty，0)\cup(0，+\infty)\)，还是偶函数，而\(y=2lgx\)的定义域是\((0，+\infty)\)，没有奇偶性，其实\(y=lgx^2=2lg|x|\)，有人就纳闷了，我们平时不是经常用公式\(log_a\;b^n=nlog_a\;b\)，对，没错，但是你注意过公式中的字母取值吗？