前言
“皮之不存，毛將焉附”，函數的定義域是函數及其性質存在的基礎和依托；函數的定義說“函數是非空數集到非空數集的映射”，第一個非空數集就是定義域。所以一提起函數及其性質，我們往往先想到的就是函數的定義域。如果一個函數的定義域是空集，那么這個函數即使給出了所謂的解析式，也是空函數，沒有研究的價值，因此數學老師常常強調的一句話就是“定義域優先”。
不同形式
自然定義域，比如給定\(g(x)=\ln(x-1)\)，則使得解析式有意義的值都屬於定義域，即解\(x-1>0\)得到定義域為\((1,+\infty)\)；
限定定義域，比如已知函數\(f(x)=2x^2-3sinx\)，\(x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)，則這就是限定定義域；
實際問題定義域，比如線段長度為\(x\)，則至少必須滿足\(x>0\)；
給出方式
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1、直接給出(限定定義域)；如函數\(f(x)，x\in D\)
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2、以函數解析式的形式給出(自然定義域)；如已知函數\(f(x)=lg\cfrac{x+2}{x-2}\)，求其定義域;要知道這個函數的定義域，我們自然需要解不等式\(\cfrac{x+2}{x-2}>0\)，由穿針引線法可得定義域為\(x\)\(\in\)\((-\infty,-2)\)\(\cup\)\((2,+\infty)\)。
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3、以圖像的形式給出，如圖所示，函數圖像向\(x\)軸作正射影，就得到定義域；
向\(y\)軸作正射影，就得到值域。當然，你如果會用圖像，那么由此圖像還可以解不等式\(f(x)>0\)或\(f(x)\leq 0\)
- 4、以實際問題給出，比如\(x\)為某個線段的長度，則隱含\(x\ge 0\)，自然就不能取負值的。
求定義域
- 如果給定函數解析式，求定義域，轉化為解不等式(組)；
分析：要使得解析式有意義，須滿足\(\begin{cases}x^2-1\ge 0\\x-1>0\\ln(x-1)\neq 0\end{cases}\)，從而解得\(\{x\mid x>1且x\neq 2\}\)，即定義域為\((1，2)\cup(2，+\infty)\).
- 復合函數的定義域
分析：解決這類題目需要牢牢抓住兩點：其一接受對應法則\(f\)作用的\(x\)和\(2x+1\)是處於對等位置的，
其二不論是給定函數的定義域還是求解函數的定義域，都是針對單獨的自變量\(x\)而言，
據此可知由於\(-1\leq x\leq 1\)，故\(-1\leq 2x+1\leq 1\)，解得函數\(f(2x+1)\)的定義域是\(x\in [-1，0]\)。
分析：由上知，函數\(f(x)\)的定義域為\(x\in(-2，2)\)，故和自變量\(x\)對等的\(\cfrac{x}{2}\)和\(\cfrac{2}{x}\)也必須在這個范圍內，
則有\(\begin{cases} -2<\cfrac{x}{2}<2 \\ -2<\cfrac{2}{x}<2 \end{cases}\)，解得\(x\in (-4，-1)\cup(1，4)\)。
分析：這里同樣你得清楚\(x+1\)和\(2^x-2\)是對等的，先由\(x\in[0，1]\)，
計算得到\(1\leq x+1\leq 2\)，故\(1\leq 2^x-2\leq 2\)，
解得\(3\leq 2^x\leq 4\)，同時取以2為底的對數得到\(log_2^3\leq x\leq 2\)，
則所求定義域是\(x\in [log_2^3，2]\)。
- 分段函數的定義域
分析：分段函數的定義域是各段函數的定義域的並集，當然值域也是各段函數的值域的並集；
- 抽象函數的定義域(往往和復合函數不分家)
分析：由上面的例子分析可知，所給函數的定義域是\([-1，1]\)，即函數\(f(2x+1)\)的自變量\(x\)的取值范圍是\([-1，1]\)，
故內函數\(2x+1\)的取值范圍這樣求解，由\(-1\leq x \leq 1\)，得到\(-2\leq 2x \leq 2\)，
所以\(-1=-2+1\leq 2x+1 \leq 2+1=3\)，又由於\(2x+1\)和\(x\)對等(你可以理解為這兩個接受同樣的紀律約束也行)，
所以\(f(x)\)的\(x\)的取值范圍應該是\(-1\leq x\leq 3\)，故函數\(f(x)\)的定義域是\([-1，3]\)。
分析：本題目的定義域求解應該考慮兩層要求，
其一需要解析式\(lg\cfrac{x^2}{x^2-4}\)有意義，
即\(\cfrac{x^2}{x^2-4}>0\)，解得\(x<-2\)或\(x>2①\)；
其二，令\(x^2-3=t\)，則\(t\ge -3\)，則\(x^2=t+3\)，\(x^2-4=t-1\)，
故原函數可以改寫為\(f(t)=lg\cfrac{t+3}{t-1}(t\ge -3)\)，
即\(f(x)=lg\cfrac{x+3}{x-1}(x\ge -3)\)，
則在\(x\ge -3\)時，還必須\(\cfrac{x+3}{x-1}>0\)，解得\(x<-3\)或\(x>1\)，
故所求定義域必須同時滿足條件
\(\left\{\begin{array}{l}{x<-2，x>2}\\{x\ge -3}\\{x<-3，x>1}\end{array}\right.\)，故定義域為\(x>2\)，即\((2，+\infty)\)；
總結：上述的解法是錯誤的，原因是解析式右端\(lg\cfrac{x^2}{x^2-4}\)中的\(x\)與\(f(x)\)中的\(x\)的內涵不一樣，
\(f(x)\)中的\(x\)與\(f(x^2-3)\)中的\(x^2-3\)的整體是對等的，故需要先等價轉化得到函數的解析式。
【正解】令\(x^2-3=t\)，則\(t\ge -3\)，則\(x^2=t+3\)，\(x^2-4=t-1\)，
故原函數可以改寫為\(f(t)=lg\cfrac{t+3}{t-1}(t\ge -3)\)，
即\(f(x)=lg\cfrac{x+3}{x-1}(x\ge -3)\)，
則在\(x\ge -3\)時，還必須\(\cfrac{x+3}{x-1}>0\)，解得\(x<-3\)或\(x>1\)，
故所求定義域必須同時滿足條件
\(\left\{\begin{array}{l}{x\ge -3}\\{x<-3，x>1}\end{array}\right.\)，故定義域為\(x>1\)，即\((1，+\infty)\)；
- 三角函數定義域
分析：由題目可知，\(|x|\leq 5①\)，且\(sinx>\cfrac{1}{2}②\)
解①得到\(-5\leq x\leq 5\)；解②得到\(2k\pi+\cfrac{\pi}{6}<x<2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)\)，
二者求交集，如右圖所示，
得到定義域為\([-5，-\cfrac{7\pi}{6})\cup (\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{5\pi}{6})\)。
影響要素
- 當函數的圖像發生變換時，其定義域和值域常常會隨之發生變化，舉例說明如下：
比如已知函數\(f(x)\)的定義域是\([1，5]\)，則\(x\in [1，5]\)
平移變換：則\(f(x+2)\)的定義域就變成了\([-1，3]\)，原因是\(1\leq x+2\leq 5\)，解得\(x\in [-1，3]\)；
伸縮變換：則\(2f(x)\)的定義域不做變化。
周期變換：則\(f(2x)\)的定義域就變成了\([\cfrac{1}{2}，\cfrac{5}{2}]\)，原因是\(1\leq 2x\leq 5\)，解得\(x\in[\cfrac{1}{2}，\cfrac{5}{2}]\)；
易錯警示
- 當題目中明確要求定義域時，一般學生都不會出錯，但是在解題中學生又非常容易犯錯誤，主要原因還是缺乏定義域優先考慮的意識。一般來說，只要是研究函數的問題，不管題目是否要求我們求解定義域，都應該先確定函數的定義域，否則研究的函數就是無源之水，無本之木。
分析：令\(g(x)=6-ax\)，像這類題目既要考慮單調性，還要考慮定義域，學生常犯的錯誤就是只考慮單調性而不顧及定義域。
由題目可知必有\(a>0\)，故函數\(g(x)\)單調遞減，考慮定義域時只要最小值\(g(2)>0\)即可，解得\(6-2a>0\)，即\(a<3\)，
再考慮外函數必須是增函數，故\(a>1\)，綜上可知，解得\(1<a<3\)，故選\(D\)。
引申：原題目改為在\([0，2)\)上為減函數，則實數\(a\)的取值范圍是\(a\in (1，3]\)。
典例剖析
- 如果題目給出了函數的定義域，那么這時往往會轉而求函數的其他性質，或者將已知的定義域轉化為其他的命題。
分析：由題可知，分母函數\(y=mx^2+4mx+3\neq 0\)對任意\(x\in R\)都成立，分類討論如下：
①當\(m=0\)時，\(y=3\neq 0\)對任意\(x\in R\)恆成立，故滿足題意；
②當\(m\neq 0\)時，結合分母函數的圖像可知，必須滿足\(\left\{\begin{array}{l}{m>0}\\{\Delta <0}\end{array}\right.\)，
即\(\left\{\begin{array}{l}{m>0}\\{\Delta=(4m)^2-4\times 3m<0}\end{array}\right.\)，解得\(0<m<\cfrac{3}{4}\)；
綜上所述，\(m\)的取值范圍為\([0，\cfrac{3}{4})\)；
分析：\(f(3)+f(3)=f(3\times3)=f(9)=2\)， \(f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)]\leq 2=f(9)\)，
等價轉化為\(\begin{cases}x>0\\x-8>0\\x(x-8)\leq 9\end{cases}\)， 解得\(8<x\leq 9\).
易錯： 如果 \(f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)]\leq 2=f(9)\)，轉化得到\(\begin{cases}x(x-8)>0\\x(x-8)\leq 9\end{cases}\)，這樣的轉化往往是不等價的，因為\(x(x-8)>0\)包含了\(x>0，x-8>0\)和\(x<0，x-8<0\)兩種情形，由此我們得到的經驗是求定義域是一般對函數的形式不做變形，
- 因為我們大多做不到等價變形；比如給定函數\(y=lgx^2\)，我們常常會化為\(y=2lgx\)，殊不知這樣的變形是錯誤的，\(y=lgx^2\)的定義域是\((-\infty，0)\cup(0，+\infty)\)，還是偶函數，而\(y=2lgx\)的定義域是\((0，+\infty)\)，沒有奇偶性，其實\(y=lgx^2=2lg|x|\)，有人就納悶了，我們平時不是經常用公式\(log_a\;b^n=nlog_a\;b\)，對，沒錯，但是你注意過公式中的字母取值嗎？