空间向量在任意平面的投影公式推导 (矩阵方法)


若 V是Rn 的一个子空间,已知V的一组基向量 {b1, b2, b3,...  bk} 

则:

可构建矩阵 :A(nxk) = {b1 b2 b3 b4...bn}

有:

x(m,n,q) 为空间向量

矩阵 A 包含平面的基向量 A(3x3)

根据投影的定义有 :

原向量 -  投影向量 = 投影向量的正交补

                                                                                  (1)

                 (2)

又根据投影定义, 投影向量的正交补 垂直 投影平面的子空间,则根据 (1) (2) 得到

          (3)

           (4)

由(3) (4) 可得:

则,投影向量为:

 

只需要代入平面的基向量,以及 x , 可以求得该向量在这个平面的投影向量。

 


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