最优化局部极小点的条件（二）

 回忆一下关于 元实值函数的 的求导问题，函数 的一阶导数 为

                                                


函数 的梯度 正好是导数 的转置，即；函数 的二阶导数，也称为hessian矩阵，可表示为：
 

                                               

 

对于向量 , 和约束集中的某个点 ，如果存在一个实数 使得对于所有 ， 仍然在约束集内，即 ，则称 为 处的可行方向！


为 元实值函数 在 处的可行方向，则函数 沿方向 的方向导数可表示为

                                               

                          
这也是一个实值函数，如果 ，那么方向导数 表示的是函数 的值在 处沿方向 的增长率。为了计算方向导数，假定 和 已知，这样就变成了关于的函数，有

                                             

      

应用链式法则，可得

                   

由此可见，当 是一个单位向量( )时，函数f的值在 处沿方向 的增长率可以用内积 表示。

一阶必要条件：多元实值函数 在约束集 上一阶连续可微，即 ，约束集 是的子集。如果是函数 在 上的局部极小点，则对于 处的任意可行方向 ，都有

                                                  

成立。

推论 ：局部极小点位于约束集内部时的一阶必要条件：多元实值函数 在约束集 上一阶连续可微，即 ，约束集 是 的子集，如果 是函数 在 上的局部极小点，且是 的内点，则有
 

                                                 

成立。

局部极小点的二阶必要条件：多元实值函数 在约束集 上二阶连续可微，即， 约束集 是 的子集 ， 如果 是函数 在 上的局部极小点 ， 是 处的一个可行方向，且 ，则有
 

                                                

其中，H为函数f的hessian矩阵。

推论：局部极小点位于约束集内部时的二阶必要条件： 多元实值函数 在约束集 上二阶连续可微，即， 约束集 是 的子集 ， 如果 是函数 在 上的局部极小点，且是 的内点，则有

                                                
                       
hessian矩阵 半正定，也就是说，对于所有的向量 ，都有

                                                

局部极小点的二阶充分条件（局部极小点为内点）：多元实值函数 在约束集上二阶连续可微，即 ， 是约束集的一个内点，如果同时满足

1    

2   

则 是函数 的一个严格局部极小点

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