概念 Min-Max容斥，又稱最值反演，是一種對於特定集合，在已知最小值或最大值中的一者情況下，求另一者的算法。 例如： \[max(a,b)=a+b-min(a,b) \\ max(a,b,c)=a+b+c-min(a,b)-min(a,c)-min(b,c)+min(a,b,c ...

min-max容斥學習筆記 前置知識 二項式反演 \[f(n)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i) \] 一些定義 ...

題面 傳送門 Sol 方法一 直接狀壓就好了 方法二 方法一實在太水了，顯然不是重點 下面介紹一種容斥方法 min-max容斥 \(E[max(S)]=\sum(-1)^{k+1}E[min(S')]\) 其中集合\(S'\subseteq S\)，\(k=|S ...

【HDU4336】Card Collector（Min-Max容斥） 題面 Vjudge 題解 原來似乎寫過一種狀壓的做法，然后空間復雜度很不優秀。 今天來補一種神奇的方法。 給定集合\(S\)，設\(max\{S\}\)為\(S\)中的最大值，\(min\{S\}\)為集合\(S ...

設\(S\)是一個集合，\(\max(S)\)和\(\min(S)\)分別表示集合中的最大值與最小值。 那么有如下式子成立： \[\max(S)=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min(T) \] \[\min(S)=\sum_{T ...

【BZOJ4036】按位或（Min-Max容斥，FWT） 題面 BZOJ 洛谷 題解 很明顯直接套用\(min-max\)容斥。 設\(E(max\{S\})\)表示\(S\)中最晚出現元素出現時間的期望，\(min\)同理。 那么\(E(max\{S\})=\sum_{T ...

min-max 容斥 給定集合 \(S\) ，設 \(\max(S)\) 為 \(S\) 中的最大值，\(\min(S)\) 為 \(S\) 中的最小值，則： \[\max(S)=\sum_{T\in S}(-1)^{|T|-1}\min(T) \] 這個東西叫 min-max容斥 ...

證明基本都是自己瞎證的，如果證法比較丑請見諒。 容斥原理 一道小學題 求 \(n(n\le 10^9)\) 以內不能被 \(2,3,5\) 整除的整數個數。 考慮這個 Venn 圖。三個圓分別表示被 \(2,3,5\) 整除的數構成的集合，那么要求的就是圓外的面積。 假設什么限制 ...