OpenCASCADE PCurve終極問題

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Abstract: Geometry Curves and Surfaces in BRep are parametric equations. So given a parametric space curve and a geometry surface can map to a 3d geometry curve. The parametric space curve is PCurve. When given a 3d geometry curve and surface, how to get the PCurve?

Keywords: OpenCASCADE, BRep, PCurve, Project, ProjLib

1 Introduction

看過《西游記》的對其中一些台詞記憶深刻，像唐僧每次介紹自己時說“貧僧唐三藏，從東土大唐而來，去往西天拜佛取經。”一句話點明哲學的終極問題：我是誰？我從哪里來？我要到哪里去？縱觀三藏的心路歷程可知，他從來就知道自己是誰，不管取經路途多么艱辛困苦，他總是初心不改，志在其中。

在學習新東西的時候，也會經常會有這些問題。如XXX是什么，怎么定義的。怎么生成XXX？XXX有什么用？能把這三個問題回答清楚，新東西基本就掌握了。

本文主要來回答PCurve的這三個問題，即PCurve是什么？PCurve從哪里來？PCurve有什么用？幫助大家深入理解這個BRep表示法中的核心概念。

2 PCurve是什么

我們找到OpenCASCADE中的注釋對PCurve的描述：A 2D curve associated to the curve on surface in the parametric space of the surface。字面意思是曲面上的一條三維曲線對應到曲面的參數空間中的一條二維曲線，即PCurve是Parametric Space Curve的縮寫。也提醒我們BRep中幾何的表達采用的是參數方程的形式，對於曲線是一個參數的方程C(u)，而對於曲面是兩個參數的方程S(u, v)。曲面的參數空間就是曲面參數方程的定義域，是二維空間。給定曲面參數空間一條線（即PCurve）根據曲面的參數方程總是能映射到得到一條模型空間的三維曲線或退化的曲線。

3 PCurve從哪里來

關於PCurve有兩個要素：一是Curve，一是Surface。在生成Face的代碼里，最關鍵的就是設置PCurve。從生成Face的類BRepLib_MakeFace中，我們可以看到，對於已經有參數范圍的曲面，其PCurve就是參數范圍在參數空間的一個矩形，這里是手動創建的。

那更一般的情況怎么辦呢？如已知曲面及曲面上的一條曲線，怎么得到PCurve?在OpenCASCADE中提供了一個靜態函數來計算：

最終是調用類ProjLib_ProjectedCurve來計算的：

前面還介紹過了曲線向曲面投影的算法原理，知道是通過計算曲線上的點與曲面法向上的交點來求出曲面上的擬合曲線，這里的擬合曲線仍然是模型空間的三維曲線。那么怎么計算出曲線在曲面參數空間的PCurve呢？我們來看看類ProjLib_ComputeApprox，從中找出答案。

//=======================================================================
//function : Value
//purpose  : 
//=======================================================================

static gp_Pnt2d Function_Value(const Standard_Real U,
			       const Handle(Adaptor3d_Curve)&   myCurve,
			       const Handle(Adaptor3d_Surface)& mySurface,
			       const Standard_Real U1,
			       const Standard_Real U2, 
			       const Standard_Real V1,
			       const Standard_Real V2,
			       const Standard_Boolean UCouture,
			       const Standard_Boolean VCouture ) 
{
  Standard_Real S = 0., T = 0.;

  gp_Pnt P3d = myCurve->Value(U);
  GeomAbs_SurfaceType SType = mySurface->GetType();

  switch ( SType ) {
    
  case GeomAbs_Plane:
    {
      gp_Pln Plane = mySurface->Plane();
      ElSLib::Parameters( Plane, P3d, S, T);
      break;
    }
  case GeomAbs_Cylinder:
    {
      gp_Cylinder Cylinder = mySurface->Cylinder();
      ElSLib::Parameters( Cylinder, P3d, S, T);
      break;
    }
  case GeomAbs_Cone:
    {
      gp_Cone Cone = mySurface->Cone();
      ElSLib::Parameters( Cone, P3d, S, T);
      break;
    }
  case GeomAbs_Sphere:
    {
      gp_Sphere Sphere = mySurface->Sphere();
      ElSLib::Parameters(Sphere, P3d, S, T);
      break;
    }
  case GeomAbs_Torus:
    {
      gp_Torus Torus = mySurface->Torus();
      ElSLib::Parameters( Torus, P3d, S, T);
      break;
    }
  default:
    throw Standard_NoSuchObject("ProjLib_ComputeApprox::Value");
  }

  if ( UCouture) {
    if(S < U1 || S > U2)
    {
        S = ElCLib::InPeriod(S, U1, U2);
    }
  }
 
  if ( VCouture) {
    if(SType == GeomAbs_Sphere) {
      if ( Abs( S - U1 ) > M_PI ) {
	      T = M_PI - T;
	      S = M_PI + S;
      }
      if(S > U1 || S < U2)
        S = ElCLib::InPeriod(S, U1, U2);
    }
    if(T < V1 || T > V2)
      T = ElCLib::InPeriod(T, V1, V2);
  }

  return gp_Pnt2d(S, T);
}

上面是擬合PCurve的擬合函數，從擬合函數的定義可知，對於簡單曲面上的曲線，給定參數U可以計算出曲線的點P3d，根據P3d計算出曲面的參數空間的參數S, T，最后將參數空間的點返回。即將這些參數空間的二維點進行擬合得到就是PCurve。

原來百思不得其解的問題終於有了頭緒，可以看出這個方法還是很巧妙的。這里就回答了PCurve從哪來的問題：若你知道PCurve，可以自己手動設置；若對於任意曲面上曲線的PCurve，可以通過Project得到。從中可以看出擬合功能的重要性。

4 PCurve有什么用

從PCurve的定義上可以看出，通過PCurve相當於建立了Edge與Face的聯系。從目前的理解來看PCurve主要還是用在Mesh，將Face網格化。因為網格化目前的算法主要還是在曲面的參數空間進行三角剖分：

5 Conclusion

綜上所述，在理解PCurve是什么后，大家可以自己思考下，如果讓你實現生成PCurve的算法，你會怎么做呢？PCurve除了用於Mesh，還有哪些應用呢？期待大家的發掘。

理解PCurve后，相信OpenCASCADE的大部分源碼大家已能看懂，為大家鑽研源碼打下基礎。