圖解分析
對於一個單向鏈表來說，即使鏈表中存儲的是有序的數據，但如果想要從中查找某個數據時，也只能從頭到尾遍歷鏈表，其時間復雜度是 \(O(n)\)。
為了提高鏈表的查詢效率，使其支持類似“二分查找”的方法，對鏈表進行多層次擴展，這樣的數據結構就是 跳表。跳表對標的是平衡樹，是一種提升鏈表插入、刪除、搜索效率的數據結構。
首先，跳表處理的是 有序 的鏈表，一般使用雙向鏈表更加方便。
然后，每兩個結點提取一個結點到上一級，提取的這一層被稱作為 索引層。
這時候，當想要查找 19 這個數字，可以先從索引層開始查找；當到達 17 時，發現下一個結點存儲 21 這個數字，則可以確定，想要查找的 19 肯定是在 17 到 21 之間；這時候可以轉到下一層（原始鏈表）中查找，快速從 17 開始檢索，很快就可以查找出 19 這個數字。
加入一層索引之后，查找一個結點需要遍歷的結點個數減少了，也就是查找效率提高了。實際上，一般會新增多層索引，擁有多層索引的跳表，查找一個結點需要遍歷的結點個數將再次減少。
這種鏈表加多層索引的結構，就是跳表。
效率分析
為了方便對跳表的效率做分析，在這里設定一個常見的跳表類型。
假設每兩個結點會抽出一個結點作為上一級索引的結點，那第一級的索引個數大約就是 \(\frac{n}{2}\)，第二級的索引個數大約就是 \(\frac{n}{4}\)，以此類推，第 k 個索引的結點個數是第 k-1 個索引的結點個數的 \(\frac{1}{2}\)，那么，第 k 個索引的結點個數就是 \(\frac{n}{2^k}\)。
時間復雜度
假設索引總共有 h 級，最高級的索引有 2 個結點，使用公式 \(\frac{n}{2^h} = 2\) 進行反推，可以計算得出 \(h = \log_2 n - 1\)，如果包含原始鏈表那一級，跳表的高度就是 \(\log_2 n\) 級。
當想要從跳表中查詢某個數據時，每層都會遍歷 m 個結點，那么，在跳表中查詢一個數據的時間復雜度就是 \(O(m \log n)\)。
從上面圖中可知，在每一級索引中最多只需要遍歷 3 個結點，其實就可以看作是 m = 3。
實際就是，在最高級索引時最多遍歷 3 個結點，當需要在下一級索引中繼續檢索時，算上前后兩個當做范圍的結點也只有 3 個，因此，在每一級索引最多只需要遍歷 3 個結點。
如果細究的話，m 的值與抽取索引值的間隔有直接關系，但是只是計算時間復雜度的話，可以將 m 值看作是一個常數。
因此，在跳表中做檢索的時間復雜度是 \(O(\log n)\)。
空間復雜度
同樣的，假設每兩個結點會抽出一個結點作為上一級索引的結點，那第一級的索引個數大約就是 \(\frac{n}{2}\)，第二級的索引個數大約就是 \(\frac{n}{4}\)，依次類推，最終索引占用的空間將是 \(\frac{n}{2} + \frac{n}{4} + ... + 4 + 2 = n - 2\)。
所以，跳表的空間復雜度是 \(O(n)\)。
實際上，跳表是一種使用空間換時間的數據結構，以增加索引的方式，提高檢索數據的效率。因此，跳表會比普通鏈表耗費更多內存進行數據存儲。
結點間隔
在上述分析跳表的時間復雜度和空間復雜度時，都是以每兩個結點抽出一個結點作為上一級索引的結點。
實際上，也可以使用 3 個結點或 4 個結點甚至更多結點做間隔。當然，以不同個數結點做間隔時，檢索效率和內存占用都會有些不一樣。
假設以 3 個結點做間隔，占用的空間會有所降低，在這個跳表上做檢索操作時，檢索的效率也會有一些降低。
因為在每一級索引檢索的最多結點個數將從 2 個變成 3 個，跳表的高度是 \(\log_3 n\) 級，最終占用的空間將是 \(\frac{n}{3} + \frac{n}{9} + ... + 3 + 1 = \frac{n}{2}\)。
在理論上，以 3 個結點做間隔的跳表與以 2 個結點做間隔的跳表的時間復雜度和空間復雜度都是一樣的。但是，實際操作時，以 3 個結點做間隔的跳表的空間占用會比以 2 個結點做間隔的跳表更優一些。
實際上，在軟件開發中，不必太在意索引占用的額外空間。雖然原始鏈表中存儲的有可能是很大的對象，但索引結點可以只存儲關鍵值和幾個指針，並不需要存儲對象，所以當對象比索引結點大很多時，那索引占用的額外空間就可以忽略了。
動態插入和刪除
上面理解的跳表都是靜態的，實際開發中，跳表在新增、刪除結點時需要做動態處理，否則容易導致檢索效率降低。
如上圖所示，如果頻繁插入結點，而沒有對索引層做動態處理，很容易出現不滿足一開始設定的跳表規則。
刪除鏈表的結點時也是同樣道理，如果刪除結點而沒有更新索引層，索引層容易出現已被刪除的臟結點。
重建索引
比較容易理解的方法就是重建索引，當每次插入、刪除結點的時候，把整個跳表的所有索引層刪除重建。
但是這種方法會降低插入結點時的效率，已知跳表的空間復雜度是 \(O(n)\)，也可以推斷出重建跳表索引層的時間復雜至少是 \(O(n)\)。
也就是說，使用重建索引的方式，跳表插入結點耗費時間將會直線上升。
隨機索引
與重建索引相比，隨機索引的效率會更高一些，像 Redis 實現 SortedSet 底層用的跳表就是使用隨機索引的方式進行動態處理。
這里的做法是通過使用一個隨機函數，來決定這個結點插入時，是否需要插入到索引層、以及插入到第幾級索引。
一般來說，通過隨機函數得到的數據都是比較均勻的，也表示最終得到的跳表索引層也是比較均勻，而且數據量越大，索引層越是均勻。
先設定索引的生成規則：從原始鏈表中隨機選擇 \(\frac{1}{2}\) 個結點作為一級索引，從一級索引中隨機選擇 \(\frac{1}{4}\) 個結點作為二級索引，以此類推，一直到最頂層索引。這時候就需要根據這個規則完成所需的隨機函數，並且是每次插入結點的時候，都通過隨機函數判斷這個結點需要插入到幾級索引。
以下是 Redis 源碼當中使用到的 隨機函數：
/* Returns a random level for the new skiplist node we are going to create.
* The return value of this function is between 1 and ZSKIPLIST_MAXLEVEL
* (both inclusive), with a powerlaw-alike distribution where higher
* levels are less likely to be returned. */
int zslRandomLevel(void) {
int level = 1;
while ((random()&0xFFFF) < (ZSKIPLIST_P * 0xFFFF))
level += 1;
return (level<ZSKIPLIST_MAXLEVEL) ? level : ZSKIPLIST_MAXLEVEL;
}
這個隨機函數會隨機生成 1 到索引最高層數之間的一個數字，該方法有 \(\frac{1}{2}\) 的概率返回 1、有 \(\frac{1}{4}\) 的概率返回 2、有 \(\frac{1}{8}\) 的概率返回 3、以此類推。其中 1 表示不需要生成索引，2 表示需要生成一級索引，3 表示需要生成二級索引，以此類推。
為什么不是返回 1 時生成一級索引呢？這是因為，在生成比一級索引更高層級的索引時，都會向下生成索引，即如果隨機函數返回 3，則會給這個結點同時生成二級索引和一級索引。這樣，如果返回 1 時生成一級索引則會出現生成一級索引的概率為 100%。
使用隨機索引方法的跳表，插入結點的時間復雜度與跳表索引的高度相同，最終時間復雜度降到 \(O(\log n)\)，而不是重建索引的 \(O(n)\)。
應用場景
跳表和平衡查找樹
與平衡查找樹相比，跳表擁有以下優勢：
- 跳表的底層原始鏈表支持范圍查詢
- 跳表相對簡單，更容易使用代碼實現
- 跳表更加靈活，可以通過改變索引構建策略，有效平衡執行效率和內存消耗
針對上述的第 1 點，支持范圍查詢的 B+ 樹更適用於磁盤，跳表主要用於內存中讀取數據。
LSM-Tree
LSM-Tree 全稱是 Log Structured-Merge Tree，其中文名是日志結構的合並樹，是一種分層的、有序的、基於硬盤的數據結構。
LSM-Tree 的核心思路是，首先寫入數據到內存中，不需要每次有數據更新時就必須將數據寫入到磁盤中，內存達到閾值之后，再使用歸並排序的方式將內存中的數據合並追加到磁盤隊尾。
因為跳表恰好就是天然有序的，所以在 flush 的時候效率很高，通常基於 LSM-Tree 結構的數據庫在內存部分都會選擇跳表這種數據結構。
HBase 的 MemStore 內部基於 LSM-Tree 實現，Google 開源的 LevelDB 以及 Facebook 基於 LevelDB 優化的 RocksDB 內部的 MemTable 都是基於 LSM-Tree 實現，它們都使用到了跳表這一結構。