基本數學理論知識

素數是數論中最為關心的基礎，基本上所有的數論書籍都是圍繞素數展開。

整數p＞1是素數當且僅當它的因子只有 ±1 和 ±p。

任意整數a＞1都可以唯一地因子分解為 a = p₁^a₁ * p₂^a₂ * …… *p_t^a_t，其中 p₁ p₂ p_t 都是素數，且 p₁ ＜p₂＜……＜ p_t ，所有的a_i都是正整數。

即任意的正整數a可唯一地表示為 a = ∏ p^a_p 其中每一個a_p ≥ 0 ，比如整數12 = { a2 = 2， a3 = 1}，整數91 ={ a7 = 1， a13 = 1}

兩數相乘即對應地指數相加。設 a = ∏ p^a_p  b = ∏ p^b_p ，定義k = ab。 k可以表示為 k = ∏ p^k_p ，k_p = a_p + b_p

例如 k = 12 * 18 = （ 2^2 * 3 ) * ( 2 * 3^2 ) = 2^3 * 3^3 = 216 。k₂ = a₂ + b₂ = 2 + 1, k₃ = a₃ + b₃ = 1 + 2

1.1 費馬定理

若p是素數，a是正整數且不能被p整數，則 a^p-1 ≡ 1 mod p ，也可以用另一種形式表示 a^p ≡ a mod p 

比如 3⁵ = 243 =3 mod 5 = a mod p

1.2 歐拉函數

歐拉函數 Φ(n)，指的是小於n且與n互素地正整數的個數。一般Φ(1) = 1。

顯然對於素數p， Φ(p) = p - 1

假設有兩個素數p和q，p ≠ q，那么對於 n = pq， Φ(n) =  Φ(pq) =  Φ(p) *  Φ(q) = (p -1)* (q - 1)

1.3 歐拉定理

歐拉定理說明，對任意的互素的a和n，有 a ^Φ(n) ≡ 1 mod n ，也可以用另一種形式表示  a ^Φ(n)+1 ≡ a mod n

1.4 中國剩余定理CRT

                                                                 令M = ∏ m_i，1 ≤ i ≤ k

其中m_i是兩兩互素的，我們可以將Z_M中任一整數對應一個k元組，該k元組的元素均在Z_mi中，這種對應關系為 A ↔ (a₁，a₂，……，a_k)，A∈Z_M，對於1 ≤ i ≤ k，a_i∈Z_M，且 a_i = A mod m_i

對於A ↔ (a₁，a₂，……，a_k)，B ↔ (b₁，b₂，……，b_k)，(A * B) mod M ↔ (a₁*b₁ mod m₁ ，a₂ * b₂ mod m₂，……，a_k * b_k mod m_k)

中國剩余定理的用途之一就是可以使得模M的大數運算轉化到更小的數上操作

比如 A = 973 mod M = 1813 = 37 * 49 = m₁ * m₂，M_i = M / m_i，則 M₁ = 49，M₂ =37

973 mod 37 = 11，973 mod 49 = 42，所以973可以表示為 (11,42)

如果此時有678 + 973 mod 1813，則可以通過678 ↔ (678 mod 37，678 mod 49)  ↔ (12，41) ，（11 + 12 mod 37，42 + 41 mod 49）= （23，24）↔  a₁M₁M₁^-1 + a₂M₂M₂^-1  mod M  ↔ 23 * 49 * 34 + 34 * 37 *4 mod 1813 = 43350 mod 1813 = 1651，其中M₁是M₁模m₁的乘法逆，即M₁^-1 = 34 mod M₁

如果此時有73 * 1651 mod 1813，先73 * （23，24） ↔  （73 * 23 mod 37，73 * 24 mod 49）=（14，32）

（14，32） ↔  14 * 49 * 34 + 32 * 37 * 4 mod 1813 = 856 = 1651 * 73 mod 1813

1.5 離散對數

1.5.1 模n的整數冪

根據歐拉定理 a ^Φ(n) ≡ 1 mod n，其中歐拉函數 Φ(n)，指的是小於n且與n互素地正整數的個數。

考慮歐拉定理更一般的形式：a ^m ≡ 1 mod n，若a與n互素，則至少有一個整數m滿足M=Φ(n)，我們稱最小正冪m為下列之一：

• a 模 n 的階
• a 所屬的模 n 的指數
• a 所產生的周期長

如表所示給出了所有小於19的正整數a模19的冪，可以發現所有序列均以1結束；每個序列的周期長都可以整數Φ(19)=18，即每一行都有整數個子序列；有一些序列長度為18，這時我們說底a生成模19的非零整數集，並稱這樣的整數為模數19的本原根。

 

 

更一般來說，我們說Φ(n)是一個數所屬的模n的可能的最高指數。如果一個數的階為Φ(n)，則稱之為n的本原跟。本原跟的奇特之處在於若a是n的本原跟，則a¹，a²，……，a^Φ(n) 模n是各不相同的，且均與n互素。素數19的本原跟為2，3，10，13，14，15。

並不是所有整數都有本原跟，事實上，只有形如2，4，p^α，2p^α的整數才有本原跟，p是任何素數，α是正整數。

1.5.2 模算術對數

對於底數x和數y，y=x ^log_x(y)

對數有以下性質：

• log_x(1) = 0
• log_x(x) = 1
• log_x(yz) = log_x(y) + log_x(z)
• log_x(y^r) = r * log_x(y)

對素數p的本原跟a，a的1到p-1次方冪可產生[1,p-1]的每一個整數一次。而對任何整數b，根據模算術定義，b ≡ r mod p，一定有唯一的冪i使得 b ≡ aⁱ mod p，0 ≤ i ≤ p - 1，這里的i稱為以a為底（模p）b的離散對數，記為dlog_a,p(b)。而dlog_a,p(1) = 0，dlog_a,p(a) = 1。

由於 x = a ^dlog_a,p(x) mod p，y = a ^dlog_a,p(y) mod p，xy = a ^dlog_a,p(xy) mod p，由模乘的性質 xy mod p = （x mod p）（y mod p）mod p，a ^dlog_a,p(xy) mod p =  (a ^dlog_a,p(x) mod p) * ( a ^dlog_a,p(y) mod p) = a ^{dlog_a,p(x) + dlog_a,p(y)}  mod p

根據歐拉定理，對任何互素的a和n，有a ^Φ(n) ≡ 1 mod n，任何正整數z可以表示為z = q + kΦ(n)，所以若 z ≡ q mod Φ(n)，則a ^z ≡ a ^q mod n

代入前式有 dlog_a,p(xy)  ≡ dlog_a,p(x) + dlog_a,p(y)  mod Φ(p)，則  dlog_a,p(y^r)  ≡ r * dlog_a,p(y)  mod Φ(p)