BJOI 2022 心跡

一拖再拖的省選，終日孤獨的訓練，不敢回看的文化課，一切都似乎進入死局。

記得去年 NOI 結束后，我對自己的定位是：回來好好學文化課，OI 爭取進 A 隊，拿 Au。如果再拿一年 Ag，還不如把機會讓給別人呢。

可惜我一件都沒能做到，noip 排名是去年兩倍，還為了進省隊擔憂。

停課了一個月，感覺 oi 水平還是起起落落，大搖大擺，文化課則是一個月沒接觸過了。

這段時間的訓練模式大概是每天自己找模擬賽 vp 打，包括但不限於：

• CTT 2021 Day 1 \(\sim\) 4
• CTS Day 2 （Day 1 題不全當雜題，然后一點不會做）
• JSOI 2019 Day 2
• 九省聯考 2018 Day 2
• IOI 2020
• IOI 2019 Day 1
• dmoj 月賽
• Google Code Jam
• Codechef Cookoff Lunchtime
• Codeforces Round
• JOISC 2021 Day 1 \(\sim\) 4
• ZR 十連測
• USACO pt 月賽 + Open
• SDOI 2019 Day 2
• 聯考
• UNR \(1 \sim 3\) 全部打完！
• COCI
• UER
• ICPC World Final 2020

可惜了，其中大多比賽本身就是 IOI 賽制，我也就當 IOI 賽制，這種賽制 vp 的時候很舒服。
然而感覺 OI 賽制並不是那么好模擬的，需要大樣例和對拍，平時訓練很忽視這個東西，嘗嘗忍不住說自己就交一次就算最終成績。

感覺大多 IOI 賽制打的都還不錯。OI 賽制則是崩一場趣味一場，感覺訓練不是很到位。

省選還擱着延期，還得期中考試，我不玩了，直接回去上課了。

其實我的局面還好，還有至少 1.5 年的高考和 4 月的 NOI。

清明又摸了 3 天，感覺不能這樣了啊。

省選隨緣吧。純圖一樂。

閣樓房間的角落里，你獨自描畫着地圖，懷抱着刻下終結的中標，堅信着唯一的門扉。

考前注意：

• sublime new system: gnome-terminal -x bash -c ‘g++ $file_name -o $file_base_name && ./$file_base_name && exec bash’
• 計算空間 ；ulimit -s / -v KB
• 對拍 / 極限數據；

Day -14

上文化課。

Day -3

寫了 loj 拉格朗日插值板子。

Day 0

中午來機房打板子，沒寫拉格朗日插值。

五點跑步，不到一圈岔氣。

晚上 xtq 跟同學去吃飯，我一個就回家了。

七點很困，准備睡覺，心態在一種微妙的平衡之間。

十一點還沒睡着。

不懂。

Day 1

4:30 醒了。

擺到六點半，出門。

七點四十五，到考場。

肚子疼，但不讓進，在外面排隊。

進考場，忍着寫完了板子。

去廁所，回來開始了。

看題。

A 題進行一個模擬。

B 題差不多那意思。

C 題什么東西。

先花了 30min 進行一個 A 的寫，給的樣例最大 <= 8，而且沒有對拍方式，心說之后一定要檢驗一下。

想 b，想一半發現看錯題的，nmd，remake！看懂新題后，因為做過機器人，10min 會了 \(O(n^3)\)，開始寫。

寫到 10:00，自己 gen 的數據 \(4.9s\)。卡常。

卡了 1h。

變成 \(1.5s\)。寫了 t2 的 gen 進行一個拍。

突然發現 t1 可能會訪問 \(1000 * 100 * 100\) 狀物，然后先離散化成編號寫的，復雜度就是 \(O(10^7)\)。

把這倆拍，寫了個 a 的根，特別弱，，然后也不想造強的，擺爛。

C 題，瞪了 40min 毫無收獲，不知道 flow 對不對啊，感覺會單向構造。

還剩 40min。

趕快寫 flow，過了前三個樣例，第四個沒過。

方案突然不會構造了。

還有 10min，干啥？

突然不想擺爛，開始沖 8 分。

到 12：58 寫完調完了，樂。

期望 \((0 \sim 100) + (0 \sim 100) + (0 \sim 24(?+12))\)

浮動極大，希望人沒事。

感覺 B 就是因為常數太大了導致浪費太多時間，不過整體沒崩（到目前為止。

下午、晚上狂摸魚。

晚上手腳冰冷，不知為何。

11.30 入睡。

Day 2

5:00 醒。

直接起來了。

七點四十五，特別困。

到考場，特別困。

開局把三個題都看了一遍，感覺很沒理解，A 感覺就是壽司晚宴的那個質數根號分治分組技巧優化顯著，然后容斥一下就行了？本來覺得要寫 FMT ，后來發現不是瓶頸，直接 for 了，差不多總共 2e8，想起 8e8 2s，直接寫了。

自測極限數據 0.8s，呵呵。

拍完，過了50min。

B、C 看了，感覺 B 更可做。

想了 1h，還是只會 y = 1, x = 0 的貪心，只有區區 30 多分。（事實上好像能過 \(x = y = 1\)，但是沒測大樣例，呵呵）

寫了個基於括號序列的狀態壓縮有限隊列，過不去 n = 8，這就是我，assert 猜的結論根本不對。

無奈開始拼 30 多分，對拍的時候死機了兩次，浪費 20min。

還剩 1h，開 C。編了 20min 發現可以 DP，然后感覺特別陰間，有六種 case。

先寫好寫的 \(n^4\)，沖了半天，發現根本過不了拍。到還剩 6min 的時候過拍了，呵呵。

只有區區 28 分。跟 12 分 \(m!\) 五五開。

總共 \((75 \sim 100) + (24 \sim 36) + (0 \sim 28)\)，呵呵了。

（upd：t1 好像很慢的樣子，很容易 t。。

感覺 gap 太大，B 這種題，WC 這種題，liuzhangfeiabc 這個人，備賽的時候 xtq 和 AKEE 都讓做 AGC 我沒做，但是做了 IOI，但是訓練仍不足，這種思維題雖然感覺 cnoi 只有 zhangyibin 一個人干這個，但他每次都干這個，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

總結

這次省選感覺分數和去年五五開，呵呵。

對於比較套路的 D1T2、D2T1，可以較快得出做法。並且由於賽前訓練 ds 過多，寫的也挺快，只是因為卡常浪費 1h。

對於逆向區分的 D1T1，幸運的沒有掛分。

對於有思維難度的 D1T3、D2T2，自己毫無頭緒，一開始方向不太對勁，到最后也沒拉回來。

對於 D2T3，以為是不可做題，直到剩下 50min 才發現可以 dp，還好拍過了 \(n^4\)，只可惜只多了十幾分，感覺分數分配非常不合理。

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出分了：\(100 + 100 + 22 + 100 + 36 + 28 = 386\)。

這個成績，比上不足比下有余，zjx 和 xtq 無論如何都是無法超越的高度。

D1T2 浪費時間的原因，其實是插值 \(n+3\) 個點就夠，我寫了 \(2n + 1\)。。沒算好，感覺不如直接暴力多項式乘法，但是感覺等冪和和插值五五開，不懂。

D1T3 數組開小了，開對后可以 34，大概可以獲得所有 A + B 的數量分，不過掛 12 分在接受范圍內。以后避免，部分分盡量還是造極限數據驗證，這樣至少不會 re。

D2T1 幸運的沒有爆零，感覺還是在刀尖上走了一回。以后本機 rand 的就里時限差很近，一定要卡一下。

這場每道題基本都有了足夠的思考時間以及做題時間，分配的較為合理。

唯一的例外是 D2T3，因為誤判 D2T2 以及 D2T3 難度，導致 T2 花太多時間，導致 T3 不夠，\(n^4\) 改成 \(n^3\) 很容易，然而我常數太大，，，現場開 \(500^3\) 會卡電腦 1min，所以可能還是拿不到這分，我也認了？？？

D2T2 AGC 類思維題需要訓練，省選前以為 yyl 不喜歡這個，現在看來是給啥都要。

同時做剩下三道題的時候，明顯感到力不從心，想不清楚細節，自己構造、思維題太弱早就知道，可是去年 NOI21 我連套路題都做不出來，很失望，所以 vp CTT 和 CTS。思維的鍛煉感覺 CF 不夠，不如 AGC，AGC 不如 IOI，要不板刷 IOI 吧！！！

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民間榜有了，大概是 rk 3，75 標准分？差 rk2 zjx 20標准分，拉 rk 4 wzj 8標准分。只看省選，全國排名大概是 10 左右？
大概應該就是這樣的排名了，變化不大？

感覺還是挺震撼，noip 后覺得完蛋了，但其實還好？加上有 400 外星人縮短人類水平差距，就相差不多了，占比也不多。事實上，我noip在 204～ 480 400 這個區間，總排名都不會變。

不過感覺這個 gap 真大，noip 落雙外星人 12 標准分，這次因為 d1t3 的數組開小，d2t2 的不會做（重點），d2t3 的分配時間少，落了擺爛的 xtq 100，zjx 60。不過他倆是全國rk1、2 感覺很恐怖d(ŐдŐ๑)

算了下自己在 JS、SC、GD、CQ 的標准分，好像分別獲得 rk 4、2、3、4 的好成績？並且標准分沒拉胯成這樣，85 左右？
好像可以做 HN、HE 等隊長？

感覺還是非常開心，之前一直覺得 A 隊遙不可及，在高二 noip rk16 后更是感覺此生無緣，沒想到我也可以做到啊。

感覺還是因為這次區分題不太需要動腦子，而且掛分的人多？應該多思維訓練啊。

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毛估估了一下，如果宿舍和去年分配的一樣：

• 和 dengyaotriangle、wzj 成為室友的概率是 \(2/3\)。
• 和 xtq、crabby 成為室友的概率是 \(1/3\)。

很趣味。

upd：嗚嗚 crabby 不是第五了，好像變成了十一神秘厲害人

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（暫定）之后的訓練計划：

• IOI 往年題。
• Public OJ VP
• AGC、CF Div.1、UOJ 補題、泛做。
• vp 各地省選題。（ZJOI、LNOI......）
• ACM OpenCup（？）

哎，等等，是不是缺少了點什么 CNOI 特色！！！

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部分題解 / 補題：

D1T1

模擬。遞歸節點數可能是 \(1000 * 100 * 100\)，那只要把每個字符串編一個號，\(O(1)\) 遞歸就行了。

code

D1T2

考慮枚舉最小值，按現在值分成的區間分成 \(O(n)\) 段，每段答案是多項式，前綴和后插值就行。

code

D1T3

賽時我想法是對的啊！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

不用歐拉回路的！！！！！！！！！！！！！！

考慮先解決 C 部分分。

先做這樣一個匹配。

左邊是出度（或者表示上面），右邊入度（下面），兩者有邊當且僅當能帶來 1 的貢獻。

答案就是最大匹配數，建圖可以建虛電優化成 2n 點，4m 邊。

考慮任意構造一組方案，此時是若干鏈和環，考慮把環相當於是都是同向，那么任意一個地方斷開，然后嵌入學術社區（一定在鏈上）的那個位置，肯定可以做到的，於是完成了構造。

考慮有雙向匹配，先給匹配了肯定更優，考慮比如 AB 匹配，最終是 Ax，yB。變成AB，yx 那一定不劣？

所以就做完了。挺難寫的。

然后注意建圖要建好一點，我一開始是 5m 邊，2n + 2m 點，直接 t 了。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

code

D2T1

對值域根號分治，按大於根號的質數對質數分組。每次欽定一個質數集合容斥，就是選的數一個都不能是有這個質數集合里的，那么枚舉小的質數集合，每個大的是一個數乘起來。預處理每個大組欽定小組一個集合的貢獻，就做完了。\(2^{14} \sum c\)

code

D2T2

考慮變成括號樹！！每次找一個往下推一層！！！

然后考慮從低往高考慮肯定不虧！！！！因為你考慮往下都推了，有幫助！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！我考場就 sb 沒想到。

x = 0, y = 1

每次往下推是自己的權值！！！那么每次保留最大的權值不往下推就好了！！！！！！！！！！！！！！！！！！！1

x = 1, y = 1

往下推是自己權值，再加上現在還在這層的隨便選一個，

考慮這層現在有 \(t\)，考慮欽定推下去的 \(t - 1\) 個，前 \(t - 2\) 個都可以靠着最小值推，然后最后一個可以靠着最小值推。那么所以每次推權值都是一個加上最小值，並且你可以把最大的留下，當前貢獻和對之后的貢獻都是優秀的！！！！！！！！！！！！所以貪心就好啦！！

x = 1, y = 1

設 \(t_i\) 為第 \(i\) 層需要往下推的個數，這個對於所有過程都是一樣的！！！！！！1

考慮 t 長這樣：1 1 1 2 2 2 2 3 3 4 4 ... 5 4 3 2 1

這時候每次往下推的權值是 \(t_i \times mn + b_i\)

\(b_i\) 是留下的權值，\(mn\) 是這層最小的權值！！！

你整體的看，這個 \(\sum b\) 相當於是所有權值 - 最后一層的權值！！！！！！！！

所以你要讓最后一層權值盡量大，然后推下去的盡量小，，

然后考慮如果 \(t_i\) 大於等於 \(3\) 那你留下次大值一定不虧噠！！！！！！！

只有 \(t_i\) 等於 \(2\) 的那個連續段有問題，后面的 \(3 2 1\) 沒有問題，\(2\) 的時候你留下最小值，肯定對的！！

考慮那個 \(2\) 連續段，就是你要選一個扔下去。考慮之后的過程都是貪心，設扔下去的這個值為 \(x\)，考慮任意一種方案，答案都可以表示為關於 \(x\) 的一次函數，那么這時候想要最優 x 要么最大值最小值，所以扔下去的一定是 \(2\) 連續段中的最大或者最小，分別做一下就做完了！！！！！！！！！！！1

考試主要想不到的是從小往大推，和這個 - 最后一層權值，說明我們需要整體看！！！！！！！！！！！。

code

D2T3

我考場因為沒剩多少時間了。

這個題和樹上的數十分類似，我一開始思路就是確定一個點出度邊的順序，那么誰去誰的確定了，然后搗鼓半天發現需要分別記錄向上向下傳播的距離才能 dp，然后就狀態 \(O(n ^ 3)\)，就寄了，頂天 64。

然后正解其實和這個狀態設計差不多，但就是優秀，就是什么呢？他記錄的是一個考慮 u 子樹的邊，然后 u 誰從父親邊上去了，一個人從父親邊下來去了哪里（距離或點編號都行）。

相較於原先那個垃圾東西記得都是：最終去哪了，這里記得兩個東西都是在子樹內的，並且肯定分屬兩個不同子樹或者是 u，這樣空間就可以 \(O(n ^ 2)\) 了，為啥這么神奇？？？？？

不懂啊，是不是你考慮 dp 的時候，合並的復雜度是對的，但是向子樹外延展這個距離，就是不好把控的了。

然后 dp，七種情況分類討論，感覺討論清楚還是挺難的？我考場 對拍出錯了 n 次，但討論難度感覺和正解五五開啊，輸飛了。。

code、

upd：詳細題解