Kruskal算法（~詳細整理，簡單易懂，附最全注釋代碼實現）

Kruskal算法

1、簡介

Kruskal算法是一種用來查找最小生成樹（$MST$）的算法，由Joseph Kruskal在1956年發表。求最小生成樹的算法常用有兩種：Kruskal算法和Prim算法。這里指路一篇Prim算法的詳解blog：https://blog.csdn.net/hzf0701/article/details/107927858。與Prim算法不同的是，該算法的核心思想是歸並邊，而Prim算法的核心思想是歸並點。這里我們會在后面的實現過程中看到。

2、構造過程

假設連通網$N=(V,E)$，將$N$中的邊按權值從小到大的順序排列。
①初始狀態為只有$n$個頂點而無邊的非連通圖$T=(V,\{\})$，圖中每個頂點自成一個連通分量。
②在$E$中選擇權值最小的邊，若該邊依附的頂點落在$T$中不同的連通分量上（即不形成回路），則將此邊將入到$T$中，否則舍去此邊而選擇下一條權值最小的邊。
③重復②，直到$T$中所有的頂點都在同一連通分量上為止。

這個算法的構造過程十分簡潔明了，那么為什么這樣的構造過程能否形成最小生成樹呢？我們來看第二個步驟，因為我們選取的邊的頂點是不同的連通分量，且邊權值是最小的，所以我們保證加入的邊都不使得$T$有回路，且權值也最小。這樣最后當所有的連通分量都相同時，即所有的頂點都在生成樹中被連接成功了，我們構造成的樹也就是最小生成樹了。

3、示例

4、算法實現

步驟：
①將存儲邊的數組temp按權值從小到大排序，注意進行運算符重載。
②初始化連通分量數組$verx$。
③依次查看數組temp的邊，循環執行以下操作。

• 依次從排好序的數組temp中選出一條邊$(u,v)$；
• 在$verx$中分別查找$u$和$v$所在的連通分量$v_1和v_2$，進行判斷。
  • 如果$v_1$和$v_2$不等，說明所選的兩個頂點分別屬於不同的連通分量，則將此邊存入最小生成樹$tree$，並合並$v_1$和$v_2$這個兩個連通分量。
  • 如果$v_1$和$v_2$相等，則說明所選的兩個頂點屬於同一個連通分量，舍去此邊而選擇下一條權值最小的邊。

/* *郵箱：[e-mail] *blog:https://me.csdn.net/hzf0701 *注：文章若有任何問題請私信我或評論區留言，謝謝支持。 * */
#include<bits/stdc++.h> //POJ不支持

#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<=n;i++)//i為循環變量，a為初始值，n為界限值，遞增
#define per(i,a,n) for (int i=a;i>=n;i--)//i為循環變量， a為初始值，n為界限值，遞減。
#define pb push_back
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0)
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair

using namespace std;

const int inf = 0x3f3f3f3f;//無窮大
const int maxn = 1e5;//最大值。
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<ll, ll>  pll;
typedef pair<int, int> pii;
//*******************************分割線，以上為自定義代碼模板***************************************//

struct edge{
	int s;//邊的起始頂點。
	int e;//邊的終端頂點。
	int w;//邊權值。
	bool operator < (const edge &a){
		return w<a.w;
	}
};
edge temp[maxn];//臨時數組存儲邊。
int verx[maxn];//輔助數組，判斷是否連通。
edge tree[maxn];//最小生成樹。
int n,m;//n*n的圖，m條邊。
int cnt;//統計生成結點個數，若不滿足n個，則生成失敗。
int sum;//最小生成樹權值總和。
void print(){
	//打印最小生成樹函數。
	cout<<"最小生成樹的權值總和為："<<sum<<endl;
	rep(i,0,cnt-1){
		cout<<tree[i].s<<" "<<tree[i].e<<"邊權值為"<<tree[i].w<<endl;
	}
}
void Kruskal(){
	rep(i,1,n)
		verx[i]=i;//這里表示各頂點自成一個連通分量。
	cnt=0;sum=0;
	sort(temp,temp+m);//將邊按權值排列。
	int v1,v2;
	rep(i,0,m-1){
		v1=verx[temp[i].s];
		v2=verx[temp[i].e];
		if(v1!=v2){
			tree[cnt].s=temp[i].s;tree[cnt].e=temp[i].e;tree[cnt].w=temp[i].w;//並入最小生成樹。
			rep(j,1,n){
				//合並v1和v2的兩個分量，即兩個集合統一編號。
				if(verx[j]==v2)verx[j]=v1; //默認集合編號為v2的改為v1.
			}
			sum+=tree[cnt].w;
			cnt++;
		}
	}
	//結束雙層for循環之后得到tree即是最小生成樹。
	print();
}
int main(){
	//freopen("in.txt", "r", stdin);//提交的時候要注釋掉
	IOS;
	while(cin>>n>>m){
		int u,v,w;
		rep(i,0,m-1){
			cin>>u>>v>>w;
			temp[i].s=u;temp[i].e=v;temp[i].w=w;
		}
		Kruskal();
	}
	return 0;
}

5、算法分析

對於有$m$條邊和$n$個頂點的圖。在$for$循環中最耗時的操作就是合並兩個不同的連通分量，第一個循環語句的頻度為$m$，第二個循環由於存在$if$語句，所以平均頻度是$lo{g}_{2}n$，所以該算法的平均時間復雜度為$O(mlo{g}_{2}n)$，故和Prim算法相比，此算法適合用於稀疏圖。

6、測試

以示例數據為測試樣例：

7 11
1 2 7
1 4 5
2 4 9
2 3 8
2 5 7
4 5 15
4 6 6
6 7 11
5 6 8
5 7 9
3 5 5

測試結果如圖：