通信基礎知識｜OFDM基本原理

寫在前面：本篇文章是最近學習OFDM基本原理的一些思考，主要參考了華為《MIMO-OFDM技術原理》中第9章的內容，很多問題是大學本科時沒有學明白的，以此記錄一下，供個人學習使用。

1 正交多載波調制原理

OFDM是一種特殊的正交多載波傳輸技術，傳統的多載波傳輸技術需要通過保留頻率間隔來保證傳輸的可靠性，OFDM通過保證頻域多個子載波之間的正交性來實現傳輸，不同的正交的子載波不影響其他子載波上信息的傳送，提高了頻帶利用率。

在頻域，每個子載波的頻譜采用的是sinc函數形式的頻譜，在時域對應的是方波函數。記住對於周期為\(T\)的方波\(g(t)\)，頻域sinc函數的零點為\(k/T,k=0,\pm1,\pm2,\cdots\)，時域上方波函數用來攜帶信息符號

\[g(t)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & 0 \leqslant t \leqslant T \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}\right. \]

根據傅立葉變換的頻移特性把頻域的sinc函數平移到不同的子載波上，

\[g_k(t)=g(t)e^{j2\pi f_kt}=g(t)e^{j2\pi \frac{k}{T}t} \leftrightarrow G(f-\frac{k}{T}) \]

在時域把多個攜帶信息符號\(d_k\)（基帶調制后的符號）的子載波信號（時間范圍為\([0,T]\)）疊加得到一個OFDM符號，一起發送出去。由於子載波通常在零頻附近對稱排列，那么包含\(N\)個子載波信息的OFDM符號在時域的表達式可以寫成

\[s(t)=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1} d_kg_k(t)=\sum_{k=-N / 2}^{N / 2-1} d_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi k t}{T}\right) g(t)=\sum_{k=-N / 2}^{N / 2-1} d_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi k t}{T}\right) \]

2 OFDM抗多徑頻率選擇性衰落原理

頻率選擇性衰落主要是由於多徑效應，信號經過不同的路徑傳播，到達接收端時會經歷不同的衰落，引起信道對不同頻率分量的影響不同。相干帶寬與信道的多徑時延擴展成反比，多徑時延擴展越大，相干帶寬越小。如果信號的周期遠大於多徑時延擴展，那么多徑引起的頻率選擇性衰落的影響可以忽略不計，可以認為發生頻率非選擇性衰落。

在OFDM中，高速串行的數據被串並轉換到多個正交的子載波上，變成低速的並行多載波信號，信號的周期會增大，因此對抗頻率選擇性衰落的能力也相應增強了。

3 IFFT/FFT快速實現OFDM

首先回顧一下IDFT與DFT，即離散傅里葉變換：

\[X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi nk/N} \\ x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j2\pi kn/N} \]

對OFDM時域符號\(s(t)\)以周期為\(T/N\)采樣，那么有

這里再討論一下對OFDM符號的采樣頻率：一個OFDM符號的頻譜由\(N\)個子載波組成，在零頻附近對稱排列有\(N/2\)個sinc函數，零點為\(k/T,k=\pm1,\pm2,\cdots\)，那么其截止頻率大約為\(N/2*1/T=\frac{N}{2T}\)。為了滿足采樣定理，采樣頻率最低為\(N/T\)，對應的采樣周期為\(T/N\)。這里的采樣周期是符合采樣定理的。

\[s_n = s(t)|_{t=n\frac{T}{N}}=\sum_{k=-N / 2}^{N / 2-1} d_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi k }{T}*\frac{nT}{N}\right)=\sum_{k=-N / 2}^{N / 2-1} d_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi nk}{N}\right) \]

可以看到采樣后的OFDM符號與IDFT的表達式非常類似，仔細觀察，發現只相差\(\frac{1}{N}\)的系數與\(k\)的求和范圍，那么可以考慮利用快速傅里葉變換IFFT來實現OFDM的采樣后的序列，再經過數模轉換得到時域的模擬信號。那么有

\[\begin{aligned} s_n&=\sum_{k=-N / 2}^{N / 2-1} d_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi nk}{N}\right) \\ &=\sum_{k=0}^{N/2-1} d_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi nk}{N}\right)+\sum_{k=-N/2}^{0} d_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi nk}{N}\right) \\ &=\sum_{k=0}^{N/2-1} d_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi nk}{N}\right)+\sum_{\tilde k=N/2}^{N-1} d_{\tilde k-N} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi n(\tilde k-N)}{N}\right) \\ &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} a_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi nk}{N}\right) \end{aligned} \]

可以看到，把\(d_k\)重新排列，並且乘上\(N\)系數補償得到\(a_k\)，之后再對\(a_k\)做IFFT就可以得到OFDM符號的采樣序列\(s_n\)。實際上，IFFT通常是直接用FFT的算法來實現的，只是指數項缺少一個負號以及系數\(1/N\)的差別，實際做的時候又會FFT后再乘以\(1/N\)。因此就可以不用先乘以\(N\)補償系數，直接把\(d_k\)進行重新排列，然后利用FFT的算法實現\(\sum_{k=0}^{N-1} a_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi nk}{N}\right)\)就可以了，有

\[a_{k}=\left\{\begin{array}{ll} d_{k}, & 0 \leqslant k \leqslant \frac{N}{2}-1 \\ d_{k-N}, & \frac{N}{2} \leqslant k \leqslant N-1 \end{array}\right. \]

在接收端，同樣的道理，對接收到的時域信號進行采樣，然后做FFT，可以得到接收端解調后的符號（記為\(b_k\)）。

總結：之所以可以用IFFT/FFT來快速實現OFDM，是因為疊加得到的時域上的多個正交子載波的信號\(s(t)\)通過模數轉換后的形式與IFFT非常類似，可以通過信息符號重排列后進行IFFT再經過數模轉換得到\(s(t)\)。

4 保護頻帶與保護間隔

4.1 保護頻帶：加窗

隨着載波數量增大，OFDM信號的帶外衰減引起的問題越來越嚴重，通常需要在OFDM信號占用帶寬的最左側與最右側添加兩個保護頻帶，保護頻帶中的子載波被設置為零，以此來加快OFDM信號的帶外衰減，讓帶外發射的能量足夠小，防止對相鄰頻帶的干擾。這一操作也是對OFDM符號進行頻域上的加窗。

4.2 保護間隔：加CP

由於無線信道的多徑效應，接收信號通常是發送信號經過不同衰減、不同時延的多個副本的疊加，傳輸信息的符號所占的時間會相應的擴展。前一個符號經過時延擴展后如果與后一個符號的時間范圍重疊了，就會引起符號間的干擾（Inter-symbol Interference，ISI）。在OFDM中，通常通過循環前綴（Cyclic Prefix，CP）來解決多徑引起的ISI問題，在每個OFDM符號前添加該符號的一部分作為保護間隔。

• 一方面，保護間隔將多徑效應引起的ISI問題限制在保護間隔的范圍內，讓OFDM符號不受影響，CP的長度需要大於信道的多徑時延擴展
• 另一方面，循環前綴保護了OFDM符號中的正交性，避免了空閑保護間隔引起的子載波間干擾。

5 OFDM時間偏移與頻率偏移的影響

• 時間偏移：時域上的同步偏移在頻域表現為相位偏移，在接收機進行信道估計時會包含在估計得到的等效信道中，通常對系統影響不大；另一方面OFDM引入了CP，能夠容忍一定的符號定位誤差，OFDM對時間偏移並不敏感
• 頻率偏移：OFDM一個符號中包含多個正交子載波的疊加，各個子載波之間通過正交性來區分。通常多普勒頻移與收發端載波頻偏會引起頻率偏移，OFDM系統對頻偏非常敏感，因為頻偏影響子載波之間的正交性，引起子載波間的干擾（Inter-carrier Interference，ICI），在時域上會引起信號的相位旋轉，造成系統性能降低

6 OFDM參數折衷

在OFDM中，需要考慮在信號帶寬一定的情況下，如何選擇最優的子載波數量\(N\)：

• N越大：在一個OFDM符號中傳輸的信息越多，頻譜效率越高
• N越大：FFT的復雜度也越大；
• N越大：子載波越多，子載波之間的間隔會變小，那么對頻偏就會更敏感（頻率間隔小，非常小的頻偏就可能會引起ICI）
• N越大：OFDM中子載波間隔為\(1/T\)，帶寬一定時，N越大，\(T\)越大，那么循環前綴CP長度也會增大，更能容忍更大的時延擴展

因此可以看到OFDM中最優的子載波數量\(N\)需要同時考慮對多普勒頻移、多徑時延擴展、頻譜效率進行折衷

7 OFDM接收特性與FFT本質的思考

假設發送的調制符號為\(d_k\)（即經過QAM、PSK等映射后的基帶符號），經過重組后得到\(a_k\)，IFFT后得到時域的OFDM符號\(s(t)\)發送出去。信道的等效基帶CIR與CTF為\(h(t)\)與\(H(f)\)，注意不考慮高頻帶通傳輸，只考慮等效的基帶傳輸。在接收端，最后解調出來的符號假設為\(b_k\)。

下圖展示了發射前與發射后經過信道作用的兩個符號，橫軸為\(k/T,k=0,\pm1,\pm2,\cdots\)

可以觀察到，在接收端得到\(b_k\)時，可以對信道傳輸函數在頻域上進行采樣，有OFDM的接收特性：\(b_k=a_kH(\frac{K}{T})\)

從一個角度看，在時域上，是通過對\(s(t)*h(t)\)的信號進行ADC采樣得到\(r_n\)，然后FFT實現\(b_k=\sum_n r_n e^{j2\pi nk/N}\)得到\(b_k\)

時域和頻域上是等價的對應關系，可以發現其實FFT實現的就是從時域變換到頻域，然后在頻域上進行采樣，與OFDM特有的\(b_k=a_kH(\frac{K}{T})\)性質是一致的。

寫在最后：OFDM中導頻與信道估計、峰均功率⽐Peak-to-Average Power Ratio (PAPR)等問題本篇文章還沒有涉及到，相關的一些基礎知識還需要總結總結～