SPI(Standardized Precipitation Index)標准降水指數-原理

1.SPI原理概述

SPI計算原理是將某時間尺度(如1、3、6、12個月等)降水量的連續時間序列(最好是長期記錄，一般最少30年)看作服從某種概率密度函數分布(如gamma分布)，然后推導出相應的累積概率函數，再通過累積概率函數轉換為標准正態分布。轉換之后，某時間尺度樣本的SPI為：該樣本降水量的累積概率所對應的標准正態分布的x軸的值。

例如：以3個月為時間尺度，使用1981-2010年30年的降水數據。計算2010年1月的SPI值。因為時間尺度是3個月，所以2010年1月的累積降水量被定義為2009年11月-2010年1月期間的總降水量，記作P；使用的時間序列為往年同期的降水量數據，即各年11月-1月的降水。首先按照原理，將時間序列數據假設為滿足gamma分布g(x)，然后推導其累積概率函數H(x)，再轉換為標准正態分布。然后，查找P對應的累積概率H(P)，然后查找與H(P)相同累積概率的標准正態分布所對應的x軸的值，即為SPI。示意圖如下，左圖為累積概率H(x)，右圖為轉換之后的標准正態分布。

2.SPI原理詳解

2.1一些基本概念

1）概率密度函數(probability density function, PDF)

通俗來說，是描述變量落在某點(x=x0)上的概率，變量落在某區間(x1<x<x2)的概率是該區間的概率密度函數的積分。

2）累積概率(cumulative probability, CDF)

又稱CDF，是概率密度函數的積分，如H(x0)表示變量x在(0,x0)區間內發生的概率，H(x0)=∫₀^x0g(x)

3）標准正態分布函數

期望μ=0，即曲線圖象對稱軸為Y軸，標准差σ=1條件下的正態分布，記為N(0，1)。

 

 

 

 

4）概率密度分布變換

SPI是通過gamma分布轉換為標准正態分布得到的，其轉換過程就是通過累積概率函數(CDF)的等概率變換；在已知gamma分布(fX(x))和標准正態分布(fY(y))的條件下，求取二者之間的轉換關系dx/dy，從而得到y=h(x)的關系，其中y值即為SPI，x值為樣本的降水量。

現在已知一個隨機變量 的概率密度為  , 現在我們令  , 現在我們要嘗試求出  的概率密度函數  . 為了計算方便, 我們只考慮函數  是嚴格單調遞增的情況, 平時我們需要求解的函數大部分都是滿足嚴格單調遞增的.

由概率分布函數定義可知:

對兩邊一起求導得:

這樣, 我們成功計算出了  的概率密度函數。

2.2構建降水頻率gamma分布函數g(x)

1）gamma分布推導

Γ函數是階乘在實數上的推廣，定義為：

根據定義，等式兩邊同除以Γ：

取積分中的函數作為概率密度，就得到了一個形式最簡單的Gamma分布，其概率密度函數為：

若將公式 (∗)中的 x 替換為βt，則有下式成立：

於是得到Gamma分布的一般形式，概率密度函數為：

2）gamma分布函數構建

Thom(1966)發現gamma分布（一種概率密度函數）很適合氣候降水的頻率時序特征，如下圖所示。（首先解釋為什么使用gamma分布）

SPI中gamma分布定義：

 

 3）gamma分布α、β參數求解

在定義完gamma分布函數之后，需要求解其中的α形狀參數和β尺寸參數，使用Thom(1966)提出的最大似然法來估算最佳的α與β值。

式中，x為降水時間序列的樣本值，x¯為降水序列的平均值，n為時間序列的長度。

2.3構建降水累積概率函數H(x)

將上一步求得的α、β參數代入，則降水量x>0的累積概率函數G(x)為g(x)的積分： 

令t=x/β，則該等式變為：

因為gamma函數沒有定義x>0，但實際降水可能為0(x=0)，所以實際降水累積概率函數為：

其中，q為降水量為0的概率，設m為降水時間序列中降水量為0的個數，則q=m/n。

至此，得到了降水的累積概率函數H(x)。其意義為：任選時間序列中的某樣本數據，其降水量在(0,x)之間的概率為H(x)。

2.4H(x)等概率變換為標准正態分布函數

這一步是通過累積概率函數的等概率變換，建立了gamma分布與標准正態分布之間的轉換關系，從而確定降水量與SPI之間的關系。

等概率變換即變量從一種分布（如gamma）轉變為另一種分布（如標准正態分布），變換前后對應變量在兩種分布中小於某個值的累積概率是不變的。

如Fig3.2所示，通過累積概率H(x)與轉換后的標准正態分布的x軸上獲取對應的SPI值。為更加方便的獲取SPI（通過轉化之后的圖像獲取太過繁瑣），使用Abramowitz and Stegun (1965)提出的近似方法，求解概率密度H(x)與標准正態分布SPI的關系（實質是建立降水量x與SPI的關系，即概率密度分布變換中的y=h(x)關系）：

其中，c₀ = 2.515517, c₁ = 0.802853, c₂ = 0.010328, d₁ = 1.432788, d₂ = 0.189269, d₃ = 0.001308

2.5SPI與Z-score

SPI被認為是一種z分數(z-score)，因為對於轉化后的標准正態分布，其μ=0，σ=1，帶入z-score=(x-μ)/σ=SPI。z-score的實際意義為測量樣本數據與樣本總體均值相差多少個標准差；所以，SPI可被解釋觀測降水量為與長期降水均值偏離的標准差個數。

3.SPI應用

標准化降水指數（SPI）是一個廣泛使用的指數，用於描述一系列時間尺度上的氣象干旱的特征。在短的時間尺度上，SPI與土壤水分密切相關，而在長的時間尺度上，SPI可以與地下水和水庫儲存有關。SPI可以在氣候明顯不同的地區進行比較。

 

 

參考

SPI原理：

Edwards D C . Characteristics of 20th Century Drought in the United States at Multiple Time Scales. , 1997.

https://www.doc88.com/p-9798233006864.html?r=1

https://max.book118.com/html/2017/0309/94893982.shtm

z-score：

https://blog.csdn.net/qq_39482438/article/details/110873346

概率密度分布變換：

https://blog.csdn.net/bingfeiqiji/article/details/81908948

https://zhuanlan.zhihu.com/p/191487550

程序：

https://climate-indices.readthedocs.io/en/latest/