兩相流：顆粒群受到的曳力

顆粒和流體之間的作用力是兩相流領域最重要的本構關系。任何科學問題的研究都遵循先易后難的原則，對顆粒流體間作用力，同樣是先從單顆粒、低雷諾數的情況研究，這篇文章介紹了處在爬流狀態下單顆粒的受力。本文介紹顆粒群與流體間的作用力，尤其是顆粒群所受曳力。

一、顆粒群曳力關聯式研究思路

符號說明：\(u\)無窮遠處來流速度；\(u_0\)床層內流體真實速度；\(U\)表觀速度，即床層進口流體速度，也是化工原理中的“空塔速度”，\(U=(1-\phi)u_0\)；顆粒群床層固含率\(\phi\)；粒徑\(d\)

單顆粒曳力

1. \(\phi \rightarrow 0\)，\(Re\rightarrow 0\)，Stokes定律：\(C_D=24/Re\)

\[F=3\pi \mu d u=\frac{1}{2}\rho_g u^2 \frac{\pi}{4}d^2 C_D \]

2. \(\phi \rightarrow 0\)，\(Re<1\)，Oseen公式，\(C_D=\frac{24}{Re}(1+\frac{3}{16}Re)\)

3. \(\phi \rightarrow 0\)，\(500<Re<2\times 10^5\)，Newton公式，\(C_D=0.44\)

4. \(\phi \rightarrow 0\)，標准阻力公式，\(C_D=\frac{24}{Re}(1+\frac{1}{6}Re^{2/3})\)

顆粒群曳力

流體流過靜止的顆粒床層，床層固含率為\(\phi=NV_p/V\)，底部入口流速為\(U\)，\(U=(1-\phi)u_0\)

顆粒受到兩種力：由流體運動產生的曳力\(F_d\)，壓力梯度力\(F_p=-V_p\nabla P\)，因此顆粒受到的合力為\(F_{gs}=F_d+F_p\)

流體流過床層的壓降損失大小應等於顆粒對其的作用力：

\[(P_{bottom}-P_{top})S_{bed}=V\nabla P=NF_{gs} \]

因此，\(F_d=(1-\phi)F_{gs}\)，定義顆粒群中單顆粒曳力與Stokes曳力之比為無量綱曳力，

\[F(\phi,Re)=F_d/3\pi \mu d U , \quad F(0,0)=1, \quad Re=\frac{dU\rho_g}{\mu} \]

工程中常用床層壓降來關聯曳力，轉化成床層壓降為

\[F(\phi,Re)=-\frac{1-\phi}{\phi} \frac{\nabla P d^2}{18\mu U} \]

目前有了單顆粒無量綱曳力的表達式，研究者進一步從以下兩種途徑來從簡單情況推向復雜情況

方式一：從低雷諾數出發

\[F(\phi, Re)=F(\phi,0)+\alpha (\phi)Re \tag{1} \]

通過第二項來添加\(Re\)的影響。
研究者提出了以上兩個方程的形式：

\[F(\phi,0)=\frac{a\phi}{18(1-\phi)^2},\quad \alpha(\phi)=\frac{b}{18(1-\phi)^2} \tag{2} \]

Ergun總結了大量實驗，得出上式中\(a=150,b=1.75\)，其他研究者也提出了不同的\(ab\)值，例如著名的Koch-Hill-Ladd曳力。Van der Hoef給出了目前最精確的\(F(\phi,0)\)表達式：

\[F(\phi,0)=\frac{180\phi}{18(1-\phi)^2}+(1-\phi)^2 (1+1.5\sqrt{\phi}) \tag{3} \]

方式二：從低固含率出發

\[F(\phi, Re)=F(0,Re)(1-\phi)^{-\beta} \tag{4} \]

第一項\(F(0,Re)\)在前文《單顆粒曳力》已介紹過。通過第二項來添加\(\phi\)的影響，其確定方式常通過不同\(\phi\)的顆粒群沉降實驗測量，測量沉降速度\(v_t(0)/v_t(\phi)\)的比值，然后將其關聯為\(\phi\)的函數：

\[v_t(0)/v_t(\phi)=(1-\phi)^{-n} \]

注意，上式中的\(n\)與第二項中的\(\beta\)含義不同。對於低\(Re\)，\(\beta=n-1\)；對於高\(Re\)，\(\beta=2n-1\)。Richardson提出，

\[n=4.65,\quad Re<0.2 \\ n=2.4, \quad Re>500 \]

Wen-Yu曳力認為\(\beta=3.7\)，著名的Di Felice曳力認為\(\beta\)與\(Re\)之間存在弱相關。

兩種方式比較

第一種方式從低雷諾數出發，其適用范圍是稠密體系即\(\phi\)較大的體系。第二種方式則適用於低固含率即稀疏體系。因此Gidaspow綜合以上兩種方式的優缺點，提出在\(\phi<0.2\)應用第二種，\(\phi>0.2\)應用第一種。Gibilaro同樣綜合以上兩種方式，提出了新的關聯式

\[F(\phi,Re)=f(Re)(1-\phi)^{-3.8} \]

使用模擬數據構建曳力關聯式的研究流程

前文介紹了通過理論分析和實驗測量獲取顆粒群中單顆粒曳力的流程。本節介紹一種從模擬數據出發構建曳力關聯式的流程，該曳力關聯式為著名的Beetstra曳力（參考文獻1）。

模擬方法為直接數值模擬，流體采用LBM求解，LBM網格為粒徑的\(1/20\)左右，顆粒和流體之間無滑移。模擬體系為長方體，體系中包含54個顆粒，通過改變長方體大小來獲得不同體系固含率。顆粒群按固定速度\(v\)運動，相對來看，流體速度為\(U=-v\)，\(Re=dU\rho_g/\mu\)

直接數值模擬可以得到每一個顆粒所受的流體作用力\(F_{gs,i}\)，則平均每個顆粒所受的流體作用力為

\[\overline{F}_{gs}=\frac{\sum F_{gs,i}}{N} \]

該力與曳力之間的關系在上文中已經提到，\(F_d=(1-\phi)F_{gs}\)，因此，無量綱曳力關聯式的形式為：

\[F(\phi,Re)=-\frac{(1-\phi)\overline{F}_{gs}}{3\pi \mu d U} \]

前文已經提到構建曳力關聯式的兩種方式，作者在這里同樣從兩種方式出發來構建。

依據方式1

從低雷諾數出發即公式1。

由公式1，作者計算了\(\alpha\)，其中\(F(\phi,0)\)由公式3所得。

\[\alpha(\phi,Re)=\frac{F(\phi,Re)-F(\phi,0)}{Re} \]

若\(\alpha\)符合公式2，那么\(\alpha\cdot (1-\phi)^2\)應為常數，而作者文中圖3的結果顯然不是這樣，說明\(\alpha\)應是\((\phi,Re)\)兩者的函數。因此，由模擬數據擬合\(\alpha(\phi,Re)\)即可得到曳力關聯式。

依據方式2

從低固含率出發即公式4。其中待定系數為\(\beta\)，待定項為\(F(0,Re)\)，因為目前還沒有十分統一的\(F(0,Re)\)的表達形式。作者提出White總結的表達式能較好的擬合\(F(0,Re)\)，因此使用White的表達式。

公式4表達的含義是曳力可以表達為兩個函數乘積的形式且兩個變量各自獨立：\(F(\phi,Re)=f_1(\phi) f_2(Re)\)。不過模擬結果表明，該假設並不成立。如果一定要使用這種形式，則需要給出\(\beta\)，即

\[\beta(\phi,Re)=-log\left( \frac{F(\phi,Re)}{F(0,Re)} \right)/log(1-\phi) \]

使用模擬數據擬合\(\beta\)，最后可以得到依據方式2建立的曳力關聯式

兩種方式比較

先說結論：作者推薦用方式1構建曳力關聯式，並且作者給出了\(\alpha\)表達式的擬合結果。關聯式預測結果與模擬結果間的誤差在3%以內。不用方式2構建主要是因為表達式中含有\(F(0,Re)\)，用不同研究者提出的\(F(0,Re)\)會得到差異很大的\(\beta\)

參考文獻

1. Beetstra R., et al. AIChE J. 2007, 53(2).
2. Di Felice R. Chem Eng Sci. 1995, 50.
3. Van der Hoef MA, et al. J Fluid Mech. 2005, 528.
4. White FM. Viscous fluid flow. pp 206–210. New York: McGraw-Hill; 1974.