詞法分析（二）：詞法規則的形式化——正規式與正規集

語法描述的基本概念

復習一下語法描述的基本概念：

字母表：一個有窮字符集，記為Σ
字母表中的每個元素稱為字符
Σ上的字（字符串）：由Σ中的字符構成的一個有窮序列
不包含任何字符的序列稱為空字，記為ε
Σ^*表示Σ上所有字的全體（Σ上所有字符所能產生的字），包含空字ε

例：設Σ={ a，b }，則
Σ^* = { ε，a，b，aa，ab，bb，ba，aaa，…}

若U、V為Σ^*的兩個子集，則U和V的連接（積）定義為
UV = { αβ | α∈U & β∈V }，順序不可顛倒

例：設U = { a，aa }、V = { b，bb }
則UV = { ab，abb，aab，aabb }

V自身的n次積記為Vⁿ
V⁰ = { ε }
V^*是V的閉包：V^*=V⁰∪V¹∪V²∪V³∪…
V⁺是V的正規閉包：V⁺ = VV^*

例：設U={ a，aa }
U^* = { ε，a，aa，aaa，……}
U⁺ = { a，aa，aaa，aaaa，……}

可以看出正規閉包是不包含 ε 的閉包

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正規式與正規集

程序語言都有一定的詞法規則，按照這些詞法規則產生的單詞符號都是一些特殊的字符串，
因此，可以形式化地描述詞法規則，即描述了詞法規則對應的單詞集合

正規式即是詞法規則一種形式化描述，對應的單詞集合稱為正規集

（正規式其實就是正則表達式 ）

一個字的集合是正規集當且僅當它能用正規式表示
正規式⇔正規集

上面這張圖就描述了右邊單詞表定義的語言的所有的字
因為正規式可以識別語言的所有字，所以可以用正規式進行詞法分析

正規式與正規集的遞歸定義
對於給定的字母表Σ

• ε和Φ都是Σ上的正規式，它們所表示的正規集是{ε}和Φ
• 任何a∈Σ，a是Σ上的正規式，它所表示的正規集是{a}
• 若U和V都是Σ上的正規式，它們所表示的正規集為L(U)、L(V)，則有
  • (U|V)為正規式，表示的正規集為L(U)∪L(V)
  • (U·V)為正規式，表示的正規集為L(U)L(V)
  • (U)^* 為正規式，表示的正規集為(L(U))^*
    僅由有限次使用上述三個步驟定義的表達式才是Σ上的正規式
    僅由這些正規式表示的字集才是正規集

根據定義
ε是Σ上的一個字，且是正規集{ ε }的正規式，可識別字ε
Φ是一個集合，也是正規式，表示的正規集是Φ
任何a∈Σ，a既是Σ中的字符，又是Σ上的字，還是Σ上的正規式，表示的正規集是{a}

正規式的等價

若兩個正規式表示的正規集相同，則稱這兩個正規式等價

以上證明表示正規式b(ab)^*與(ba)^*b等價

正規式的性質
交換律：e₁|e₂ = e₂|e₁
結合律：e₁|(e₂|e₃) = (e₁|e₂)|e₃ e₁(e₂e₃) = (e₁e₂)e₃ | 及 · 運算均滿足結合律
分配律：e₁(e₂|e₃) = e₁e₂|e₁e₃ (e₂|e₃)e₁ = e₂e₁|e₃e₁ | 對 · 及 · 對 | 的運算均滿足分配律
eε = εe = e
e₁e₂<>e₂e₁

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原文轉載自：https://www.cnblogs.com/kafm/p/12721805.html

2022-03-08