\(\mathbf{{\large {\color{Red} {歡迎到學科網下載資料學習}} } }\)【高分突破系列】 高二數學下學期同步知識點剖析精品講義！
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選擇性必修第三冊同步提高，難度3顆星！
模塊導圖
知識剖析
相關關系與確定關系
兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系.
\({\color{Red}{ Eg }}\) 正方形面積與邊長，高一定時圓錐的體積與底圓半徑等均為確定關系；體重與身高，子女的身高與父親的身高，空氣污染指數與汽車保有量等均為相關關系.
正相關與負相關
如果從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現增加的趨勢，稱這兩個變量正相關；從散點圖來看，點從左下角往右上角走.
如果從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現減少的趨勢，稱這兩個變量負相關；從散點圖來看，點從左上角往右下角走.
\({\color{Red}{ Eg }}\) 脂肪含量與年齡 , 子女的身高與父親的身高正相關.
線性相關
一般地，如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關.
一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關.
樣本相關系數
對於變量\(x\)和變量\(y\)，設經過隨機抽樣獲得的成對樣本數據為\(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots,\left(x_{n}, y_{n}\right)\)，其中\(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\)和\(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\)的均值分別為\(\bar{x}\)和\(\bar{y}\)，則\(r=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}\)
我們稱\(r\)為變量\(x\)和變量\(y\)的樣本相關系數.
① 當\(r>0\)時，稱成對數據正相關；當\(r<0\)時，稱成對數據負相關.
② \(|r|\)越接近於\(1\)，兩個變量的線性相關性越強；
\(|r|\)接近於\(0\)時，兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系.
③樣本相關系數\(r\)也可以推導得到
\(r=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}=\dfrac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}\)
經典例題
【題型一】相關關系與確定關系
【典題1】下面哪兩個變量間是相關關系( )
A．出租車費與行駛的里程
B．房屋面積與房屋價格
C．身高與體重
D．鐵塊的大小與質量
【解析】根據題意，依次分析選項：
對於\(A\)，出租車費與行駛的里程之間的關系是確定，是函數關系，不符合題意；
對於\(B\)，房屋面積與房屋價格之間的關系是確定，是函數關系，不符合題意；
對於\(C\)，身高與體重之間的關系是不確定，但在一定范圍內，身高越高，體重越大，是相關關系，符合題意；
對於\(D\)，鐵塊的大小與質量之間的關系是確定，是函數關系，不符合題意；
故選：\(C\)．
【點撥】是確定關系還是相關關系，看兩變量之間關系是否確定的.
【題型二】正相關與負相關
【典題1】有以下五組變量：
①某商品的銷售價格與銷售量；
②學生的學籍號與學生的數學成績；
③堅持每天吃早餐的人數與患胃病的人數；
④氣溫與冷飲銷售量；
⑤電瓶車的重量和行駛每千米的耗電量．
其中兩個變量成正相關的是( )
A. \((1)(3)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \((2)(4)\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C. \((2)(5)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \((4)(5)\)
【解析】對於①，一般情況下，某商品的銷售價格與銷售量成負相關關系；
對於②，學生的學籍號與學生的數學成績沒有相關關系；
對於③，一般情況下，堅持每天吃早餐的人數與患胃病的人數成負相關關系；
對於④，一般情況下，氣溫與冷飲銷售量成正相關關系；
對於⑤，一般情況下，電瓶車的重量和行駛每千米的耗電量成正相關關系．
綜上所述，其中兩個變量成正相關的序號是④⑤．
故選：\(D\)．
【點撥】如果從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現增加的趨勢，稱這兩個變量正相關；如果從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現減少的趨勢，稱這兩個變量負相關.
【典題2】在各散點圖中，兩個變量具有正相關關系的是( )
【解析】根據題意，依次分析選項為：
對於\(A\)、是相關關系，但不是正相關關系，不符合題意；
對於\(B\)、是相關關系，也是正相關關系，符合題意；
對於\(C\)、是相關關系，是負相關關系，不符合題意；
對於\(D\)、所示的散點圖中，樣本點不成帶狀分布，這兩個變量不具有線性相關關系，不符合題意．
故選：\(B\)．
【點撥】從散點圖來看，點從左下角往右上角走是正相關；從散點圖來看，點從左上角往右下角走是負相關.
【題型三】成對數據的統計相關系數
【典題1】對某統計部門對四組數據進行統計分析后，獲得如圖所示的散點圖，關於相關系數的比較，其中正確的是( )
A. \(r_{4}<r_{2}<0<r_{1}<r_{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(r_{2}<r_{4}<0<r_{1}<r_{3}\)
C. \(r_{2}<r_{4}<0<r_{3}<r_{1}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(r_{4}<r_{2}<0<r_{3}<r_{1}\)
【解析】根據散點圖的特征，數據大致呈增長趨勢的是正相關，數據呈遞減趨勢的是負相關；由題中數據可知：(1)(3)為正相關，為負相關；
數據越集中在一條線附近，說明相關性越強，
故\(r_{1}>0, r_{3}>0\)；\(r_{2}<0, r_{4}<0\)；
又(1)與(2)中散點圖更接近於一條直線，故\(r_1>r_3\)，\(r_2<r_4\)
因此\(r_2<r_4<0<r_3<r_1\)．
故選：\(C\)．
【點撥】
①若散點圖中數據集中所在的直線斜率為正，則正相關；斜率為負，則負相關.
②數據越集中在一條線附近，說明相關性越強；與該直線的斜率大小無關.
【典題2】如圖所示，\(5\)個數據，去掉后，下列說法正確的是( )
A．相關系數\(r\)變大
B．殘差平方和變大
C．相關指數\(R^2\)變小
D．解釋變量\(x\)與預報變量\(y\)的相關性變強
【解析】由散點圖知，去掉離群點\(D\)后，\(x\)與\(y\)的相關性變強，且為正相關，
所以相關系數\(r\)的值變大，相關指數\(R^2\)的值變大，殘差平方和變小．
故選：\(AD\)．
【點撥】
①相關系數\(r\)判斷線性的相關性的強弱；而殘差平方和與相關指數\(R^2\)判斷的是模型的擬合效果，殘差平方和越小，相關指數\(R^2\)越大，模型擬合效果越好；
②本題中點\(D\)屬於“歧義點”，偏離回歸直線較遠，若剔除少數的“歧義點”，解釋變量\(x\)與預報變量\(y\)的相關性變強.
鞏固練習
1(★)下列兩個量之間的關系是相關關系的為( )
A．正方體的體積與棱長的關系
B．學生的成績和體重
C．路上酒后駕駛的人數和交通事故發生的多少
D．水的體積和重量
2(★)下列說法正確的是( )
A．圓的面積與半徑之間的關系是相關關系
B．糧食產量與施肥量之間的關系是函數關系
C．一定范圍內，學生的成績與學習時間成正相關關系
D．人的體重與視力成負相關關系
3(★)變量有觀測數據，得散點圖(1)；對變量，有觀測數據，得散點圖(2)，由這兩個散點圖可以判斷( )
A．變量\(x\)與\(y\)正相關，\(u\)與\(v\)正相關
B．變量\(x\)與\(y\)正相關，\(u\)與\(v\)負相關
C．變量\(x\)與\(y\)負相關，\(u\)與\(v\)正相關
D．變量\(x\)與\(y\)負相關，\(u\)與\(v\)負相關
4(★)判斷如圖所示的圖形中具有相關關系的是( )
5(★)對兩個變量的幾組觀測數據統計如表，則這兩個相關變量的關系是( )
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 \\ \hline y & 2 & 3 & 3.5 & 4 & 4.8 & 5 \\ \hline \end{array}\)
A．負相關 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．正相關 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．先正后負相關 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．先負后正相關
6(★)關於相關關系，下列說法不正確的是( )
A．相關關系是一種非確定關系
B．相關關系\(r\)越大，兩個變量的相關性越強
C．當兩個變量相關且相關系數時，表明兩個變量正相關
D．相關系數\(r\)的絕對值越接近\(1\)，表明兩個變量的相關性越強
7(★)變量與相對應的一組數據為\((10，1)\)，\((11.3，2)\)，\((11.8，3)\)，\((12.5，4)\)，\((13，5)\)，變量與相對應的一組數據為\((10，5)\)，\((11.3，4)\)，\((11.8，3)\)，\((12.5，2)\)，\((13，1)\)．\(r_{1}\)表示變量\(Y\)與\(X\)之間的線性相關系數，表示變量\(V\)與\(U\)之間的線性相關系數，則( )
參考公式：線性相關系數\(r=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}\)
A. \(r_{2}<r_{1}<0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(0<r_{2}<r_{1}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(r_{2}<0<r_{1}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(r_{1}=r_{2}\)
8(★)【多選題】為了對變量與的線性相關性進行檢驗，由樣本點\((x_1，y_1)\)，\((x_2，y_2)\)，...，\((x_{10}，y_{10})\)求得兩個變量的樣本相關系數為\(r\)，那么下面說法中錯誤的有( )
A．若所有樣本點都在直線上\(y=-2x+1\)，則\(r=1\)
B．若所有樣本點都在直線上\(y=-2x+1\)，則\(r=-2\)
C．若\(|r|\)越大，則變量\(x\)與\(y\)的線性相關性越強
D．若\(|r|\)越小，則變量\(x\)與\(y\)的線性相關性越強
9(★)對相關系數\(r\)，下列說法正確的是( )
A．\(r\)越大，線性相關程度越大
B．\(r\)越小，線性相關程度越大
C．\(|r|\)越大，線性相關程度越小，\(|r|\)越接近\(0\)，線性相關程度越大
D．\(|r|≤1\)且\(|r|\)越接近\(1\)，線性相關程度越大，\(|r|\)越接近\(0\)，線性相關程度越小
10(★)下列四個圖各反映了兩個變量的某種關系，其中可以看作具有較強線性相關關系的是( )
A. \((1)(3)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \((1)(4)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \((2)(3)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \((1)(2)\)
11(★)已知甲、乙、丙、丁四組數據變量間對應的線性相關系數分別為\(0.46，0.79，-0.92，0.85\)，則( )
A．甲組數據變量間的線性相關程度最強
B．乙組數據變量間的線性相關程度最弱
C．丙組數據變量間的線性相關程度最強
D．丁組數據變量間的線性相關程度最強
12(★)對兩個變量\(x ,y\)進行線性相關檢驗，得線性相關系數\(r_1=0.7859\)，對兩個變量\(u ,v\)進行線性相關檢驗，得線性相關系數，則下列判斷正確的是( )
A．變量\(x\)與\(y\)正相關，變量\(u\)與\(v\)負相關，變量\(x\)與\(y\)的線性相關性較強
B．變量\(x\)與\(y\)負相關，變量\(u\)與\(v\)正相關，變量\(x\)與\(y\)的線性相關性較強
C．變量\(x\)與\(y\)正相關，變量\(u\)與\(v\)負相關，變量\(u\)與\(v\)的線性相關性較強
D．變量\(x\)與\(y\)負相關，變量\(u\)與\(v\)正相關，變量\(u\)與\(v\)的線性相關性較強
參考答案
- 【答案】\(C\)
【解析】\(A\)、由正方體的棱長和體積的公式知，\(V=a^{3}(a>0)\)，故\(A\)不對；
\(B\)、學生的成績和體重，沒有關系，故\(B\)不對；
\(C\)、路上酒后駕駛的人數會影響交通事故發生的多少，但不是唯一因素，它們之間有相關性，故\(C\)對；
\(D\)、水的體積_V_和重量_x_的關系為：\(V=k\cdot x\)，是確定的函數關系，故\(D\)不對；
故選：\(C\)． - 【答案】\(C\)
【解析】對於\(A\)，圓的面積與半徑之間的關系是確定的關系，是函數關系，所以\(A\)錯誤；
對於\(B\)，糧食產量與施肥量之間的關系是不是函數關系，是相關關系，所以\(B\)錯誤；
對於\(C\)，一定范圍內，學生的成績與學習時間是成正相關關系的，所以\(C\)正確；
對於\(D\)，人的體重與視力是沒有相關關系的，所以\(D\)錯誤．
故選：\(C\)． - 【答案】\(C\)
【解析】由題圖\(1\)可知，\(y\)隨\(x\)的增大而減小，各點整體呈下降趨勢，\(x\)與\(y\)負相關，由題圖\(2\)可知，\(u\)隨\(v\)的增大而增大，各點整體呈上升趨勢，\(u\)與\(v\)正相關．
故選：\(C\)． - (【答案】\(C\)
【解析】由題意，選項\(A\)，\(B\)中的\(x\)與\(y\)的對應是確定的，
選項\(C\)、\(D\)是不確定的，
而在選項\(C\)、\(D\)中，\(C\)具有相關關系，
故選：\(C\)． - 【答案】\(A\)
【解析】根據兩個變量\(x\)，\(y\)的幾組觀測數據統計表知，
\(y\)隨\(x\)的增大而減小，所以這兩個相關變量負相關．
故選：\(A\)． - 【答案】\(B\)
【解析】對於\(A\)，相關關系不同於函數關系，它是一種非確定的關系，\(A\)正確；
對於\(B\)，相關關系\(|r|\)越大，兩個變量的相關性越強，\(∴B\)錯誤；
對於\(C\)，當兩個變量相關且相關系數\(r>0\)時，說明兩個變量正相關，\(∴C\)正確；
對於\(D\)，相關系數\(r\)的絕對值越接近\(1\)，表明兩個變量的相關性越強，\(D\)正確．
故選：\(B\)． - 【答案】\(C\)
【解析】由已知中的數據可知：第一組數據正相關，則相關系數大於零，
第二組數據負相關，則相關系數小於零，故選：\(C\)． - (【答案】\(ABD\)
【解析】當所有樣本點都在直線\(y=-2x+1\)上時，樣本點數據完全負相關，其相關系數\(r=-1\)，所以\(A\)、\(B\)都錯誤；
相關系數\(|r|\)值越大，則變量\(x\)與\(y\)的線性相關性越強，\(C\)正確；
相關系數\(|r|\)值越小，則變量\(x\)與\(y\)的線性相關性越弱，\(D\)錯誤．
綜上知，以上錯誤的說法是\(ABD\)．
故選：\(ABD\)． - (【答案】D
【解析】兩個變量之間的相關系數，\(r\)的絕對值越接近於\(1\)，
表面兩個變量的線性相關性越強，
\(r\)的絕對值越接近於\(0\)，表示兩個變量之間幾乎不存在線性相關，
故選：\(D\)． - 【答案】\(B\)
【解析】∵兩個變量的散點圖，
若樣本點成帶狀分布，則兩個變量具有線性相關關系，
\(∴\)兩個變量具有線性相關關系的圖是①和④．
故選：\(B\)． - 【答案】\(C\)
【解析】因為線性相關系數的絕對值越大，線性相關性越強，甲、乙、丙、丁四組數據的線性相關系數分別為\(0.46，0.79，-0.92，0.85\)，所以丙組數據的線性相關性最強．
故選：\(C\)． - 【答案】\(C\)
【解析】由線性相關系數\(r_{1}=0.7859>0\)知\(x\)與\(y\)正相關，
由線性相關系數\(r_{2}=-0.9568<0\)知\(u，v\)負相關，
又\(\left|r_{1}\right|<\left|r_{2}\right|\)，
\(∴\)變量\(u\)與\(v\)的線性相關性比\(x\)與\(y\)的線性相關性強．
故選：\(C\)．