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問題描述
求解函數f(x) = x * sin(10pi * x) + 2 在區間[-1,2]上的最大值，要求精度10^-6.
代碼部分
具體的理論部分不進行過多的解釋，網上有很多詳細的帖子。直接上代碼，一共有Ga_max.m、bin2dec.m、selection.m、crossover.m、mutation.m五部分組成，第一個是求解最大值的主函數，后面四個分別是二進制轉十進制、選擇、交換、和變異函數
主函數部分
首先確定種群的大小N和每個個體的編碼長度L，隨機生成一個只含0-1的N x L的矩陣P，也就是初始化種群。然后確定進化的相關參數，有：交叉的概率、變異的概率和要進化迭代的次數。
初始化完成后開始進化，也就是開始for循環，首先對x進行解碼碼，對個體（二進制串）轉化成十進制，然后計算個體的適應度。接着要進行遺傳操作（選擇、交叉、變異），完成種群更新。計算新種群的適應度，以及最優個體和最優適應度。
迭代完成后，最后一代的最優個體和最優個體即為所求。
其中，遺傳算法求解最優解時，首先要將實際問題的參數集進行編碼化，常見的類型有二進制編碼和浮點數編碼。
這里采用二進制編碼，因為需要精度達到10-6，也就是說編碼長度L需要滿足：2L > (2-(-1)) * 10^6,這里編碼長度L選取22。
%%
clc
clear
close all
%%
% 問題 求解f再[x_min,x_max]上的最大值
%需要求解再區間內函數的最大值
f = 'x .* sin(x .* 10 * pi) + 2';
x_min = -1;x_max = 2; %自變量取值區間
%初始化參數
N = 100; %種群大小
L = 22; %編碼長度
P = zeros(N,L); %N個個體，每個個體的編碼長度為L，由01構成
%初始化種群
P = round(rand([N,L]));
%% 迭代
%迭代初始化
pc = 0.6; %交叉概率
pm = 0.05; %變異概率
gen = 500; %迭代次數
fit_mean = [];%平均適應度
fit_opt = [];%最優適應度
iter = 1;%迭代計數器
%開始進化
for iter = 1:gen
x = bin2dec(P(:,1:L),x_min,x_max);
fit = eval(f);
%select
P_new = selection(P,fit);
%crossover
P_new = crossover(P_new,pc);
%mutation
P_new = mutation(P_new,pm);
%更新種群
P = P_new;
%計算新種群的適應度
x = bin2dec(P(:,1:L),x_min,x_max);
fit = eval(f);
[opt,loc] = max(fit);%記錄最優適應度和最優個體
fit_mean(iter) = mean(fit); %記錄適應度均值
fit_opt(iter) = opt; %記錄最佳適應度
%畫圖部分
%初始選取的基因位置
if iter == 1
pause(1)
figure(1)
cla
fplot(f,[x_min,x_max]);
hold on
plot(x,fit,'r*')
title(['迭代次數iter=',num2str(iter)])
end
%基因位置變化記錄
if mod(iter,50) == 0
pause(1)
figure(1)
cla
fplot(f,[x_min,x_max]);
hold on
plot(x,fit,'r*')
title(['迭代次數iter=',num2str(iter)])
end
iter = iter + 1;
end
fprintf('The Best X -->%5.6f\n',x(loc));
fprintf('The Best Y -->%5.6f\n',opt);
二進制轉十進制函數
注意這里的十進制是指對應解區間的十進制數。如果二進制正常轉到十進制時K，那么這里還要再對k進行“歸一化”。有如下關系：
x = x_min + (x_max - x_min) * k / (2^L - 1)
% 二進制轉十進制
function num = bin2dec(num_bin,n_min,n_max)
% ```
% num_bin:一串二進制數
% n_min，n_max：歸一化的上下區間
% 二進制轉化為十進制，再把十進制的數壓縮到[n_min,n_max]區間上
num_bin = fliplr(num_bin);%二進制串左右反轉
[m,n] = size(num_bin);%m個長度n的二進制串
weight = 0:1:n-1;
weight = ones(m,1) * weight;%[m,n]的權重矩陣，每一行都是0，1，2...n-1，2的多少次方
num_dec = sum((num_bin .* 2.^weight)'); %每一分位成對應的權重求和 %轉置是因為sum是列求和
num = n_min + (n_max-n_min) * num_dec ./ (2^n - 1);
end
選擇函數
選擇采用輪盤賭選擇的方式，選擇個體i的概率 pi = fi / sum（fi）。出現的頻數越大，被選中的概率就越大，優勢基因更能夠在種群中擴散。注意代碼中里產生的隨機數是與分布函數做比較的。
%% selection
function P_new = selection(P,fit)
% % % %
% 采用輪盤選擇法來選擇需要復制的基金
% P_new : 是新的基因組
% P: 是舊基因組
% fit: 是就基因組所對應的適應度
[m,n] = size(P); %種群中m個個體
p_fit = fit./sum(fit); %概率
F_fit = cumsum(p_fit); %分布函數
temp = sort(rand(1,m)); %隨機生產m個概率
fit_p = 1;
new_p = 1; %兩個指針，一個指新種群，一個指舊的
while new_p <= m %需要循環m次，把新基因組填滿
if temp(new_p) < F_fit(fit_p) %根據隨機參數的概率與分布函數作比較，得出要選擇的基因
P_new(new_p,:) = P(fit_p,:); %選擇后完成復制
new_p = new_p + 1; %指針加一，尋找下一個要選擇的
else
fit_p = fit_p + 1; %在舊種群中，沒有選中這一個體。加一對下一個進行判斷
end
end
交叉函數
% crossover
function P_new = crossover(P,pc)
% % %
% P_new: 新種群
% P : 舊種群
% pc : 交叉概率
[m,n] = size(P);
for i = 1:2:m-1
if rand < pc %發生交叉
p_cross = ceil(rand * n); %發生交叉的點位，兩個個體這一點之后的所有基因交換
P_new(i,:) = [P(i,1:p_cross - 1),P(i + 1,p_cross:n)];
P_new(i+1,:) = [P(i + 1,1:p_cross - 1),P(i,p_cross:n)];%兩個個體交換交叉點后的基因序列
else
P_new(i,:) = P(i,:);
P_new(i + 1,:) = P(i + 1,:);
end
end
變異函數
function P_new = mutation(P,pm)
% % %
% 變異操作
[m,n] = size(P);
P_new = P;
for i = 1:m
if rand < pm %發生變異
p_mutation = ceil(rand*n);%變異的點位
if P_new(i,p_mutation) == 0
P_new(i,p_mutation) = 1;
else
P_new(i,p_mutation) = 0; %對變異點的記憶值進行反轉
end
end
end
結果展示
初始基因位置
迭代100次
迭代200次
迭代300次
迭代400次
迭代500次
