壓縮感知（也稱為壓縮感知、壓縮采樣或稀疏采樣）是一種信號處理技術，通過尋找欠定線性系統的解決方案來有效地獲取和重構信號。這是基於這樣的原理，即通過優化，可以利用信號的稀疏性從比Nyquist-Shannon 采樣定理所需的樣本少得多的樣本中恢復它。有兩種情況可以恢復。第一個是稀疏的，這要求信號在某些域中是稀疏的。第二個是不相干性，它通過等距屬性應用，這對於稀疏信號來說已經足夠了。
概述
信號處理工程領域的一個共同目標是從一系列采樣測量中重建信號。一般來說，這項任務是不可能的，因為在未測量信號的時間內無法重建信號。然而，通過對信號的先驗知識或假設，可以從一系列測量中完美地重建信號（獲取這一系列測量稱為采樣）。隨着時間的推移，工程師們對哪些假設是實用的以及如何推廣它們的理解有所提高。
信號處理的早期突破是奈奎斯特-香農采樣定理。它指出，如果真實信號的最高頻率小於采樣率的一半，則可以通過sinc 插值完美地重構信號。主要思想是，利用關於信號頻率約束的先驗知識，重構信號所需的樣本更少。
大約在 2004 年，Emmanuel Candès、Justin Romberg、Terence Tao和David Donoho證明，在了解信號稀疏性的情況下，可以使用比采樣定理所需更少的樣本來重建信號。這個想法是壓縮感知的基礎。
歷史
壓縮傳感依賴於其他幾個科學領域在歷史上使用過的技術。在統計學中，最小二乘法由L1-norm，由Laplace引入。隨着線性規划和Dantzig單純形算法的介紹，L1-norm 用於計算統計。在統計理論中，L1-norm 被George W. Brown和后來的作者用於中值無偏估計量。它被 Peter J. Huber 和其他從事穩健統計工作的人使用。L1-norm 也用於信號處理，例如，在 1970 年代，地震學家根據似乎不滿足Nyquist-Shannon 標准的數據構建了地球內反射層的圖像。1993 年 用於匹配追蹤， 1996 年Robert Tibshirani的LASSO 估計器和1998 年的基礎追蹤。有描述這些算法何時恢復稀疏解的理論結果，但所需的類型和數量的測量值是次優的，隨后通過壓縮傳感得到了極大的改善。
乍一看，壓縮感知似乎違反了采樣定理，因為壓縮感知取決於相關信號的稀疏性，而不是其最高頻率。這是一個誤解，因為采樣定理保證了在充分而非必要條件下的完美重建。與經典固定速率采樣根本不同的采樣方法不能“違反”采樣定理。與經典的固定速率采樣相比，使用壓縮感知可以對具有高頻分量的稀疏信號進行高度欠采樣。
應用
壓縮感知領域與信號處理和計算數學中的幾個主題相關，例如欠定線性系統、組測試、重擊者、稀疏編碼、多路復用、稀疏采樣和有限創新率。其廣泛的范圍和通用性已在信號處理和壓縮、逆問題的解決、輻射系統的設計、雷達和穿牆成像以及天線表征方面實現了幾種創新的 CS 增強方法。與壓縮傳感具有很強親和力的成像技術包括編碼孔徑和計算攝影。
傳統的 CS 重建使用稀疏信號（通常以低於 Nyquist 采樣率的速率采樣）通過約束進行重建L1最小化。這種方法的最早應用之一是反射地震學，它使用來自帶限數據的稀疏反射信號來跟蹤地下層之間的變化。當 LASSO 模型在 1990 年代作為一種選擇稀疏模型的統計方法而受到重視時，該方法被進一步用於計算諧波分析，以對來自過完備字典的稀疏信號表示進行計算。其他一些應用包括雷達脈沖的非相干采樣。Boyd 等人的工作已將 LASSO 模型（用於選擇稀疏模型）應用於模數轉換器（當前使用的采樣率高於奈奎斯特率以及量化的香農表示）。這將涉及並行架構，其中模擬信號的極性以高速變化，然后在每個時間間隔結束時將積分數字化以獲得轉換后的數字信號。
壓縮感知 (CS) 為從壓縮測量中恢復稀疏信號提供了一個優雅的框架。例如，CS 可以利用自然圖像的結構並僅從少數隨機測量中恢復圖像。CS 靈活且數據高效，但其應用受到稀疏性強假設和昂貴的重建過程的限制。最近一種將 CS 與神經網絡生成器相結合的方法已經消除了稀疏性的限制，但重建仍然很慢。生成對抗網絡 (GAN) 可以被視為該模型系列中的一個特例。