初學一點點空間分解和有理標准型

我們來討論一下有理標准型和 Jordan 標准型的關系。

對於 \(M_n(\mathbb{F})\) 上的方陣一定可以循環分解，存在有理標准型：\(A\sim F=\text{diag}(F_1,F_2,\cdots,F_s)\)，其中 \(m_{F_s}(\lambda)|m_{F_{s-1}}(\lambda)|\cdots|m_{F_1}(\lambda)=m_A(\lambda)\)；

其中 \(F_i\) 是 Frobenius Block，形如

\[F_i=\begin{pmatrix} & & & &-a_0\\1&&&&-a_1\\&1&&&-a_2\\&&\ddots&&\vdots\\&&&1&-a_{m-1}\end{pmatrix} \]

從線性空間的角度看，有理標准型相當於分解成若干個循環子空間的直和，在第 \(i\) 個空間上存在線性獨立的 \((\alpha,A\alpha,\cdots,A^{m-1}\alpha)\)，且有 \(A^m(\alpha)=-\sum\limits_{i=0}^{m-1}a_iA^i(\alpha)\)，也就是循環向量 \(\alpha\) 符合 \(m_{F_i}(A)\alpha=0\).

假如在代數閉域上考慮：我們說，可以直接根據有理標准型各個子空間上的極小多項式寫出其 Jordan 標准型。這里我們可以從 \(\lambda-\)矩陣的角度 或者 極小多項式的角度輕松理解，有理標准型的結構相當於對於每個不同特征值的 Jordan Block （或者是初等因子）從大到小的順序進行堆砌。當我們想要從有理標准型求得 Jordan 分解，只需要對 Frobenius Block 依從大到小的順序，分解其極小多項式並將其初等因子直接作成對應大小的 Jordan Block 即可。這一過程的合理性亦可以結合 \(m_{F_s}(\lambda)|m_{F_{s-1}}(\lambda)|\cdots|m_{F_1}(\lambda)\) 這一排序來理解。

可以從空間分解角度出發證明 Jordan 分解，但有理標准型的結構將不同的特征值混雜在一起，大多情況下還是不容易操作。實際上空間准素分解並不依賴於 \(\mathbb{F}\) 是代數閉的，因此推證 Jordan 標准型時可以采取先准素分解、后循環分解的方式，即先分出根子空間 \(U_i=\ker(\lambda_i E-A)^{n_i}\)，再根據該空間上的冪零線性變換 \(A-\lambda_iE\) 進行循環分解，其必為若干個

\[N_{i,j}=\begin{pmatrix} 0&\cdots & & &0\\1&0&&&0\\&1&\ddots&&\\&&\ddots&&\vdots\\&&&1&0\end{pmatrix} \]

的直和，從而在變換 \(A\) 下很自然地得到形如 \(J_{i,j}=N_{i,j}+\lambda_iE\) 的 Jordan Block.

當 \(\mathbb{F}\) 不是代數閉的，我們依然可以進行一定程度的細分。當完成准素分解后，根子空間不復存在，而變為了某個不可約多項式 \(p_i(x)\) 所對應的空間 \(U_i=\ker p_i(x)^{n_i}\)，且整個空間 \(V=\bigoplus U_i\)。為方便記 \(d=\deg p_i\)；對該空間再進行循環分解可以得到一系列友矩陣 \(F_{i,1},\cdots,F_{i,s}\)，其階數遞減且均為 \(d\) 的倍數，\(U_i=U_{i,1}\oplus\cdots\oplus U_{i,s}\)。為了細分，注意到對於階數等於 \(kd\) 的友矩陣 \(F_{i,j}\)，其極小多項式等於 \(p_i^k(x)\)，斷言其可以相似於

\[F_{i,j}\sim \begin{pmatrix}Q_i&&&\\E_{1,d}&Q_i&&\\&\ddots&\ddots&\\&&E_{1,d}&Q_i\end{pmatrix}=H_{i,j} \]

這里 \(Q\) 即為大小為 \(d\times d\) 的多項式 \(p_i(x)\) 的友矩陣，\(E_{1,d}=\begin{pmatrix}&1\\O&\end{pmatrix}\)；

證明上述分解可以從線性空間的角度，先寫出空間大小為 \(kd\) 的子空間 \(U_{i,j}\) 的循環向量基 \((\alpha,A\alpha,\cdots,A^{kd-1}\alpha)\)，且 \(m_{A|_{U_{i,j}}}(A)\alpha=p_i^k(A)\alpha=0\). 可以驗證所有的如下向量

\[\beta_{s,t}=(p_i^s(A)\cdot A^t)\alpha\quad(0\le s\le k-1,0\le t\le d-1) \]

可以構成 \(U_{i,j}\) 的一組基，且 \(A|_{U_{i,j}}\) 在這組基下的矩陣恰為 \(H_{i,j}\).

上述證明表明不可約多項式 \(p_i(x)\) 所對應的根子空間在有理標准型的基礎上可以細分到 \(\deg p_i(x)\) 的大小。特別的，當 \(p_i(x)\) 為單項式 \(x-\lambda\) 時，該方法即為將根子空間作 Jordan 分解。所以說該分解結果類似於 Jordan 分解的一種廣義情形。

在 \(\mathbb{R}\)（實數域）上不可約多項式都是二次的，因此上述分解中的 \(Q_i\) 均形如 \(\begin{pmatrix}&-c^2\\1&2b\end{pmatrix}\) ，一個實例如下（特征多項式為 \((\lambda^2+1)^2\)）：

\[\begin{pmatrix}&&&-1\\1&&&0\\&1&&-2\\&&1&0\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}&-1&&\\1&&&\\&1&&-1\\&&1&\end{pmatrix} \]

在 \(\mathbb{R}\) 上還可以從 Jordan 標准型的角度去考慮，實際上相當於把每一對共軛的復數特征值對應的向量一起有理化，得到形如

\[\begin{pmatrix}a&b&&&&\\-b&a&&&&\\1&&a&b\\&1&-b&a\\&&1&&a&b\\&&&1&-b&a\\&&&&&&\ddots \end{pmatrix} \]

的 Jordan Block（對應原先特征值為 \(a±b\sqrt{-1}\) 的兩個塊），一個實例如下（矩陣同上例，\((a,b)=(0,1)\)）：

\[\begin{pmatrix}&&&-1\\1&&&0\\&1&&-2\\&&1&0\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}&1&&\\-1&&&\\1&&&1\\&1&-1&\end{pmatrix} \]

這種一般稱作實 Jordan 標准型。