分段線性插值

首先，科普一下插值的含義：在離散數據的基礎上補插連續函數，使得這條連續曲線通過全部給定的離散數據點。

插值是離散函數逼近的重要方法，利用它可通過函數在有限個點處的取值狀況，估算出函數在其他點處的近似值。

插值的方法有很多：拉格朗日插值法，牛頓插值法，分段線性插值，樣條插值等，每種插值方法都有自己的優缺點。

今天，我們介紹的是比較簡單的分段線性插值方法，分段線性將每兩個相鄰的節點用直線連起來，如此形成的一條折線就是分段線性插值函數。計算點的插值時，只用到左右的兩個節點，計算量與節點個數n無關。

假設兩個節點為（x1，y1）和（x2，y2），則該區間上的一次線性方程為：

 

 

 

下面講解一下證明過程（證明過程很簡答，大家在初中就學過了）：

 

 

 

 

 

 

 

以上就是分段線性插值的原理，可以看出原理十分簡單。分段線性插值運算量較小，插值誤差較小，插值函數具有連續性，但是由於在已知點的斜率是不變的，所以導致插值結果不光滑，存在角點。

下面給出分段線性插值的MATLAB實現函數：

function y_output = piecewiselinearinterp(x,y,x_input)
%該函數實現分段線性插值
%x為已知的數據點
%y為已知的數據點
%x_input為待插值的橫坐標
%y_output為插值后的到的結果
%The Author:等等登登-Ande
%The Email:[e-mail]
%The Blog:qq_35166974
 
n = length(x);
nn = length(x_input);
 
for j=1:nn
    for i=1:n-1
        if (x_input(j)>x(i) && x_input(j)<=x(i+1))
            y_output(j) = ((x_input(j)-x(i+1))/(x(i)-x(i+1)))*y(i)+(((x_input(j)-x(i))/(x(i+1)-x(i)))*y(i+1));
        end
    end
end

 

函數運行結果是：

 

 

 

 

從運行結果可以看出，插值總體趨勢是正確的，但是存在着很多角點，當節點越多時，插值效果會越好。
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