國防科技大學2021數學分析與高等代數試題及參考解答

國防科技大學2021年數學分析與高等代數試題部分

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第一部分：數學分析

一.求\(\displaystyle y=\frac{x^2+1}{x-1}\)的漸近線.
二.計算下列極限.
1.\(\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos x)^\frac{1}{x^2}\).
2.\(\displaystyle\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{1+a^{2n}+\cos^2{n}}\).
三.已知\(f(x)=x^5\arctan x\),求\(f^n(0)\).
四.求曲面\(z=\sqrt{2+x^2+4y^2}\)到平面\(x-2y+3z=1\)的最近點.
五.求三重積分

\[\iiint\limits_{\Omega}(xy+2z) \, \mathrm{d}V. \]

其中\(\Omega:x^2+y^2=z^2\)錐體的上半部分和\(x^2+y^2+z^2=4\)所圍的立體.
六.已知函數\(f(x)\)在\(R\)上有界且二次可導,證明：存在\(\xi \in R\),使得\(f''(\xi)=0\).

第二部分：高等代數

七.已知\(A,B\)為\(3\)階方陣,求\(A^{-1}BA=6A+BA\),其中\(\mathbf{A}=\left (\begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{4} & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{7}\\ \end{array} \right)\),
求\(B\).
八.已知\(\mathbf{A}=\left (\begin{array}{ccc} 1 & b & 1\\ b & a & 1\\ 1 & 1 & 1\\ \end{array} \right)\)和\(\mathbf{A}=\left (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 4\\ \end{array} \right)\)相似，求\(a\)和\(b\),的值.
九.已知\(A,B\)為\(n\)階實正交矩陣,且\(\lvert A \rvert \ne \lvert B \rvert\),證明\(A+B\)不可逆.
十.
1.已知\(n\)階矩陣\(A\),滿足\(A^2=A\),證明\(A\)與對角陣

\[ \mathbf{C}=\left (\begin{array}{cccccc} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & 0 & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 0 \\ \end{array} \right) \]

相似.
2.已知知\(n\)階矩陣\(A,B\),滿足\(A^2=A,B^2=B,AB=BA\),證明：存在知\(n\)階矩陣\(P\),使得\(P^(-1)AP\)與\(P^(-1)BP\)都為對角矩陣，且對角線元素為\(0\)或\(1\).

國防科技大學2021年數學分析與高等代數參考解答部分

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第一部分：數學分析

一.求\(\displaystyle y=\frac{x^2+1}{x-1}\)的漸近線.
Solution:
二.計算下列極限.
1.\(\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos x)^\frac{1}{x^2}\).
Solution:由洛必達法則及\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)得到
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\ln(\cos x)^\frac{1}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{-\sin x}{2x\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{-1}{2\cos x}=-\frac{1}{2}\).
可知原極限\(\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos x)^\frac{1}{x^2}=e^{-\frac{1}{2}}\).
2.\(\displaystyle\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{1+a^{2n}+\cos^2{n}}\).
三.已知\(f(x)=x^5\arctan x\),求\(f^n(0)\).
四.求曲面\(z=\sqrt{2+x^2+4y^2}\)到平面\(x-2y+3z=1\)的最近點.
五.求三重積分

\[\iiint\limits_{\Omega}(xy+2z) \, \mathrm{d}V. \]

其中\(\Omega:x^2+y^2=z^2\)錐體的上半部分和\(x^2+y^2+z^2=4\)所圍的立體.
六.已知函數\(f(x)\)在\(R\)上有界且二次可導,證明：存在\(\xi \in R\),使得\(f''(\xi)=0\).

第二部分：高等代數

七.已知\(A,B\)為\(3\)階方陣,求\(A^{-1}BA=6A+BA\),其中\(\mathbf{A}=\left (\begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{4} & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{7}\\ \end{array} \right)\),
求\(B\).
八.已知\(\mathbf{A}=\left (\begin{array}{ccc} 1 & b & 1\\ b & a & 1\\ 1 & 1 & 1\\ \end{array} \right)\)和\(\mathbf{A}=\left (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 4\\ \end{array} \right)\)相似，求\(a\)和\(b\),的值.
九.已知\(A,B\)為\(n\)階實正交矩陣,且\(\lvert A \rvert \ne \lvert B \rvert\),證明\(A+B\)不可逆.
十.
1.已知\(n\)階矩陣\(A\),滿足\(A^2=A\),證明\(A\)與對角陣

\[ \mathbf{C}=\left (\begin{array}{cccccc} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & 0 & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 0 \\ \end{array} \right) \]

相似.
2.已知知\(n\)階矩陣\(A,B\),滿足\(A^2=A,B^2=B,AB=BA\),證明：存在知\(n\)階矩陣\(P\),使得\(P^(-1)AP\)與\(P^(-1)BP\)都為對角矩陣，且對角線元素為\(0\)或\(1\).