今天走進數據結構之二叉樹
二叉樹的基本操作（C 語言版）
1 二叉樹的定義
二叉樹的圖長這樣：
二叉樹是每個結點最多有兩個子樹的樹結構，常被用於實現二叉查找樹和二叉堆。二叉樹是鏈式存儲結構，用的是二叉鏈，本質上是鏈表。二叉樹通常以結構體的形式定義，如下，結構體內容包括三部分：本節點所存儲的值、左孩子節點的指針、右孩子節點的指針。
struct TreeNode {//樹的結點
int data;//數據域
struct TreeNode* lchild;//指向左孩子節點
struct TreeNode* rchild;//指向右孩子節點
};
當然，我們也可以為我們的的樹節點結構體重新定義一下名字，使用 C 語言中的 typedef 方法就可以了。
struct TreeNode {//樹的結點
int data;//數據域
struct TreeNode* lchild;//指向左孩子節點
struct TreeNode* rchild;//指向右孩子節點
} BiNode, *BiTree;
2 二叉樹的建立
二叉樹的操作通常使用遞歸方法，二叉樹的操作可以分為兩類，一類是需要改變二叉樹的結構的，比如二叉樹的創建、節點刪除等等，這類操作，傳入的二叉樹的節點參數為二叉樹指針的地址，這種參入傳入，便於更改二叉樹結構體的指針（即地址）。
如下是二叉數創建的函數，這里我們規定，節點值必須為大於 0 的數值，如果不是大於 0 的數，則表示結束繼續往下創建子節點的操作。然后我們使用遞歸的方法以此創建左子樹和右子樹。
比如說，建立這個二叉樹：
5
/ \
3 8
/ / \
2 6 9
首先根據這個二叉樹，我們先模擬一下：
先序輸入：5 3 2 0 0 0 8 6 0 0 9 0 0
先序遍歷輸出：5 3 2 8 6 9
中序遍歷輸出：2 3 5 6 8 9
后序遍歷輸出：2 3 6 9 8 5
層次遍歷輸出：5 3 8 2 6 9
下面通過先序的方式建立二叉樹：
- 第一種建立二叉樹：使用一級指針
//先序建立二叉樹
BiTree CreateTree() {
int data;
scanf("%d", &data);//根節點數據
BiTree root;
if (data <= 0) {
return NULL;
} else {
root = (BiTree)malloc(sizeof(BiNode));
root->data = data;
root->lchild = CreateTree();
root->rchild = CreateTree();
}
return root;
}
測試使用：
//測試
int main() {
//BiTree root;
//CreateTree(&root);
BiTree root = NULL;
root = CreateTree();//創建樹
PreOrderTraverse(root);//先序遍歷輸出
return 0;
}
- 第二種建立二叉樹：使用二級指針
//先序建立二叉樹
void CreateTree(BiTree* root) {
int data;
scanf("%d", &data);//根節點數據
if (data <= 0) {
*root = NULL;
} else {
(*root) = (BiTree)malloc(sizeof(BiNode));
(*root)->data = data;
CreateTree(&((*root)->lchild));
CreateTree(&((*root)->rchild));
}
}
測試使用：
//測試
int main() {
BiTree root;
CreateTree(&root);
//BiTree root = NULL;
//root = CreateTree();//創建樹
PreOrderTraverse(root);//先序遍歷輸出
return 0;
}
如果沒有要求的話，我比較傾向於第一種！
3 二叉樹的遍歷
3.1 先序遍歷
先序遍歷的思路：
先序遍歷的過程是首先訪問根結點，然后先序遍歷根的左子樹，最后先序遍歷根的右子樹。對於根的左子樹和右子樹，遍歷的過程相同。
方案一：遞歸
- 采用遞歸的方式來實現：
//先序遍歷二叉樹:遞歸實現
void PreOrderTraverse(BiTree root) {
if (root) {
printf("%d ", root->data);
PreOrderTraverse(root->lchild);
PreOrderTraverse(root->rchild);
}
}
方案二：非遞歸
- 非遞歸實現：引入輔助棧
//先序遍歷二叉樹:非遞歸實現
void PreOrderTraverseNonRec(BiTree root) {
BiTree stack[MaxSize];
BiTree p;
int top = -1;
if (root != NULL) {
//根節點入棧
top++;
stack[top] = root;
//棧不空時循環
while (top > -1) {
//出棧並訪問該節點
p = stack[top];
top--;
printf("%d ", p->data);
//右孩子入棧
if (p->rchild != NULL) {
top++;
stack[top] = p->rchild;
}
//左孩子入棧
if (p->lchild != NULL) {
top++;
stack[top] = p->lchild;
}
}
}
}
3.2 中序遍歷
中序遍歷的思路
中序遍歷的過程是首先中序遍歷左子樹，然后訪問根結點，最后中序遍歷根的右子樹。對於根的左子樹和右子樹，遍歷的過程相同。
方案一：遞歸
- 采用遞歸的方式來實現：
//中序遍歷二叉樹:遞歸實現
void InOrderTraverse(BiTree root) {
if (root) {
InOrderTraverse(root->lchild);
printf("%d ", root->data);
InOrderTraverse(root->rchild);
}
}
方案二：非遞歸
- 非遞歸實現：引入輔助棧
//中序遍歷二叉樹:非遞歸實現
void InOrderTraverseNonRec(BiTree root) {
BiTree stack[MaxSize];
BiTree p;
int top = -1;
if (root != NULL) {
p = root;
while (top > -1 || p != NULL) {
//掃描p的所有左節點並入棧
while (p != NULL) {
top++;
stack[top] = p;
p = p->lchild;
}
if (top > -1) {
//出棧並訪問節點
p = stack[top];
top--;
printf("%d ", p->data);
//掃描右孩子
p = p->rchild;
}
}
}
}
3.3 后序遍歷
后序遍歷的思路
后序遍歷的過程是首先后序遍歷左子樹，然后后序遍歷根的右子樹，最后訪問根結點。
方案一：遞歸
- 采用遞歸的方式來實現：
//后序遍歷二叉樹:遞歸實現
void PostOrderTraverse(BiTree root) {
if (root) {
PostOrderTraverse(root->lchild);
PostOrderTraverse(root->rchild);
printf("%d ", root->data);
}
}
方案二：非遞歸
- 非遞歸實現：引入輔助棧
//后序遍歷二叉樹:非遞歸實現
void PostOrderTraverseNonRec(BiTree root) {
BiTree stack[MaxSize];
BiTree p;
int top = -1;
int sign;
if (root != NULL) {
do {
//root節點入棧
while (root != NULL) {
top++;
stack[top] = root;
root = root->lchild;
}
//p指向棧頂前一個已訪問節點
p = NULL;
//置root為已訪問
sign = 1;
while (top != -1 && sign) {
//取出棧頂節點
root = stack[top];
//右孩子不存在或右孩子已訪問則訪問root
if (root->rchild == p) {
printf("%d ", root->data);
top--;
//p指向被訪問的節點
p = root;
} else {
//root指向右孩子節點
root = root->rchild;
//置未訪問標記
sign = 0;
}
}
} while (top != -1);
}
}
3.4 層次遍歷
層次遍歷的思路：
思路：在進行層次遍歷時，對一層結點訪問完后再按照它們的訪問次序對各個結點的左孩子和右孩子順序訪問，這樣一層一層地進行，先遇到的結點先訪問，這棵二叉樹的層次遍歷序列為 5 3 8 2 6 9，先上到下，先左到右。實現層次遍歷用隊列比較方便，因為是先進先出（FIFO）。首先把 5 入隊，然后再輸出隊首元素，並且把隊首元素的左結點和右結點入隊（如果有的話），以此類推，輸出的序列就是層次遍歷啦
- 采用非遞歸方式實現：引入隊列
//層次遍歷:非遞歸實現
void LevelOrderTraverseNonRec(BiTree root) {
BiTree p;
Push(root);
while (!empty()) {//empty()判斷隊列是否為空
p = Pop();//出隊
printf("%d ", p->data);//輸出隊首結點
if (p->lchild) {//把Pop掉的結點的左子結點加入隊列
Push(p->lchild);
}
if (p->rchild) {//把Pop掉的結點的右子結點加入隊列
Push(p->rchild);
}
}
}
附隊列部分代碼：
//隊列結構體
typedef struct queue {
struct TreeNode* numQueue[MaxSize];
int front;
int rear;
} Queue;
Queue queue;//聲明全局變量
//初始化隊列
void initQueue() {
queue.front = 0;
queue.rear = 0;
}
//入隊
void Push(BiTree root) {
queue.numQueue[++queue.rear] = root;
}
//出隊
BiTree Pop() {
return queue.numQueue[++queue.front];
}
//判斷隊列是否為空
int empty() {
return queue.rear == queue.front;
}
4 求二叉樹的最大深度
一棵樹的最大深度，左子樹和右子樹的最大深度 + 1 即可.
- 采用遞歸的方式來實現：
//二叉樹的最大深度
int maxDepth(BiTree root) {
if (root) {
int maxLeft = maxDepth(root->lchild);
int maxRight = maxDepth(root->rchild);
if (maxLeft > maxRight) {
return maxLeft + 1;
} else {
return maxRight + 1;
}
}
return 0;
}
5 求二叉樹的高度
- 采用遞歸的方式來實現
//二叉樹高度
int BiTreeHeight(BiTree root) {
if (root) {
int leftHeight = BiTreeHeight(root->lchild);
int rightHeight = BiTreeHeight(root->rchild);
return (leftHeight > rightHeight) ? (leftHeight + 1) : (rightHeight + 1);
}
return 0;
}
6 求二叉樹葉子節點的個數
一個節點的度就是一個節點的分支數，二叉樹中的節點按照度來分類的話，分為三類，度分別為 0、1、2 的節點，我們將其數量表示為 n0、n1、n2，且我們將一棵樹的總結點數量用 N 來表示。那么一個數的葉子節點的數量即為 n0，且有 N = n0 + n1 + n2。
如果我們按照一棵樹的子節點數來計算一棵樹的總結點數，那么一棵二叉樹樹的總結點數 N = 2 * n2 + n1 + 1，最后一個 1 表示樹的根節點。我們將關於 N 的兩個等式合並，則有結論：n0 = n2 + 1。
- 采用遞歸的方式來實現
//葉子節點
int LeafNodeNum(BiTree root) {
if (root == NULL) {
return 0;
}
if (root->lchild == NULL && root->rchild == NULL) {
return 1;
} else {
return LeafNodeNum(root->lchild) + LeafNodeNum(root->rchild);
}
}
7 求第 k 層節點的個數
- 采用遞歸的方式來實現：
//求第k層節點個數
int LevelNodeNum(BiTree root, int k) {
if (root == NULL || k < 1) {
return 0;
}
if (k == 1) {
return 1;
}
return LevelNodeNum(root->lchild, k - 1) + LevelNodeNum(root->rchild, k - 1);
}
8 求二叉樹總節點個數
- 采用遞歸的方式來實現：
//求二叉樹總節點個數
int CountNode(BiTree root) {
if (root) {
if ((root->lchild == NULL) && (root->rchild == NULL)) {
return 1;
} else {
return CountNode(root->lchild) + CountNode(root->rchild) + 1;
}
}
return 0;
}
9 查找元素為 x 的節點
- 采用遞歸的方式來實現：
//查找元素為 x 的節點
BiTree SearchNode(BiTree root, int x) {
if (root) {
if (root->data == x) {
return root;
} else {
BiTree p;
p = SearchNode(root->lchild, x);
if (!p) {
p = SearchNode(root->rchild, x);
}
return p;
}
}
return NULL;
}
10 二叉樹的操作完整代碼
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MaxSize 100
//樹的結構
typedef struct TreeNode {
int data;//數據域
struct TreeNode* lchild;//指向左孩子節點
struct TreeNode* rchild;//指向右孩子節點
} BiNode, *BiTree;
//隊列結構體
typedef struct queue {
struct TreeNode* numQueue[MaxSize];
int front;
int rear;
} Queue;
Queue queue;//聲明全局變量
//初始化隊列
void initQueue() {
queue.front = 0;
queue.rear = 0;
}
//入隊
void Push(BiTree root) {
queue.numQueue[++queue.rear] = root;
}
//出隊
BiTree Pop() {
return queue.numQueue[++queue.front];
}
//判斷隊列是否為空
int empty() {
return queue.rear == queue.front;
}
//構造二叉樹
BiTree CreateTree() {
int data;
scanf("%d", &data);//根節點數據
BiTree root;
if (data <= 0) {
return NULL;
} else {
root = (BiTree)malloc(sizeof(BiNode));
root->data = data;
//printf("請輸入%d的左子樹：", root->data);
root->lchild = CreateTree();
//printf("請輸入%d的右子樹：", root->data);
root->rchild = CreateTree();
}
return root;
}
//先序遍歷二叉樹:遞歸實現
void PreOrderTraverse(BiTree root) {
if (root) {
printf("%d ", root->data);
PreOrderTraverse(root->lchild);
PreOrderTraverse(root->rchild);
}
}
//先序遍歷二叉樹:非遞歸實現
void PreOrderTraverseNonRec(BiTree root) {
BiTree stack[MaxSize];
BiTree p;
int top = -1;
if (root != NULL) {
//根節點入棧
top++;
stack[top] = root;
//棧不空時循環
while (top > -1) {
//出棧並訪問該節點
p = stack[top];
top--;
printf("%d ", p->data);
//右孩子入棧
if (p->rchild != NULL) {
top++;
stack[top] = p->rchild;
}
//左孩子入棧
if (p->lchild != NULL) {
top++;
stack[top] = p->lchild;
}
}
}
}
//中序遍歷二叉樹:遞歸實現
void InOrderTraverse(BiTree root) {
if (root) {
InOrderTraverse(root->lchild);
printf("%d ", root->data);
InOrderTraverse(root->rchild);
}
}
//中序遍歷二叉樹:非遞歸實現
void InOrderTraverseNonRec(BiTree root) {
BiTree stack[MaxSize];
BiTree p;
int top = -1;
if (root != NULL) {
p = root;
while (top > -1 || p != NULL) {
//掃描p的所有左節點並入棧
while (p != NULL) {
top++;
stack[top] = p;
p = p->lchild;
}
if (top > -1) {
//出棧並訪問節點
p = stack[top];
top--;
printf("%d ", p->data);
//掃描右孩子
p = p->rchild;
}
}
}
}
//后序遍歷二叉樹:遞歸實現
void PostOrderTraverse(BiTree root) {
if (root) {
PostOrderTraverse(root->lchild);
PostOrderTraverse(root->rchild);
printf("%d ", root->data);
}
}
//后序遍歷二叉樹:非遞歸實現
void PostOrderTraverseNonRec(BiTree root) {
BiTree stack[MaxSize];
BiTree p;
int top = -1;
int sign;
if (root != NULL) {
do {
//root節點入棧
while (root != NULL) {
top++;
stack[top] = root;
root = root->lchild;
}
//p指向棧頂前一個已訪問節點
p = NULL;
//置root為已訪問
sign = 1;
while (top != -1 && sign) {
//取出棧頂節點
root = stack[top];
//右孩子不存在或右孩子已訪問則訪問root
if (root->rchild == p) {
printf("%d ", root->data);
top--;
//p指向被訪問的節點
p = root;
} else {
//root指向右孩子節點
root = root->rchild;
//置未訪問標記
sign = 0;
}
}
} while (top != -1);
}
}
//層次遍歷:非遞歸實現
void LevelOrderTraverseNonRec(BiTree root) {
BiTree p;
Push(root);
while (!empty()) {//empty()判斷隊列是否為空
p = Pop();//出隊
printf("%d ", p->data);//輸出隊首結點
if (p->lchild) {//把Pop掉的結點的左子結點加入隊列
Push(p->lchild);
}
if (p->rchild) {//把Pop掉的結點的右子結點加入隊列
Push(p->rchild);
}
}
}
//二叉樹的最大深度
int maxDepth(BiTree root) {
if (root) {
int maxLeft = maxDepth(root->lchild);
int maxRight = maxDepth(root->rchild);
if (maxLeft > maxRight) {
return maxLeft + 1;
} else {
return maxRight + 1;
}
}
return 0;
}
//二叉樹高度
int BiTreeHeight(BiTree root) {
if (root) {
int leftHeight = BiTreeHeight(root->lchild);
int rightHeight = BiTreeHeight(root->rchild);
return (leftHeight > rightHeight) ? (leftHeight + 1) : (rightHeight + 1);
}
return 0;
}
//葉子節點
int LeafNodeNum(BiTree root) {
if (root == NULL) {
return 0;
}
if (root->lchild == NULL && root->rchild == NULL) {
return 1;
} else {
return LeafNodeNum(root->lchild) + LeafNodeNum(root->rchild);
}
}
//求第k層節點個數
int LevelNodeNum(BiTree root, int k) {
if (root == NULL || k < 1) {
return 0;
}
if (k == 1) {
return 1;
}
return LevelNodeNum(root->lchild, k - 1) + LevelNodeNum(root->rchild, k - 1);
}
//求二叉樹總節點個數
int CountNode(BiTree root) {
if (root) {
if ((root->lchild == NULL) && (root->rchild == NULL)) {
return 1;
} else {
return CountNode(root->lchild) + CountNode(root->rchild) + 1;
}
}
return 0;
}
//查找元素為 x 的節點
BiTree SearchNode(BiTree root, int x) {
if (root) {
if (root->data == x) {
return root;
} else {
BiTree p;
p = SearchNode(root->lchild, x);
if (!p) {
p = SearchNode(root->rchild, x);
}
return p;
}
}
return NULL;
}
//測試
int main() {
//測試數據：5 3 2 0 0 0 8 6 0 0 9 0 0
//BiTree root;
//CreateTree(&root);
BiTree root = NULL;
root = CreateTree();//創建樹
printf("先序非遞歸遍歷：");
PreOrderTraverseNonRec(root);
printf("\n中序非遞歸遍歷：");
InOrderTraverseNonRec(root);
printf("\n后序非遞歸遍歷：");
PostOrderTraverseNonRec(root);
printf("\n先序遞歸遍歷：");
PreOrderTraverse(root);//先序遍歷輸出
printf("\n中序遞歸遍歷：");
InOrderTraverse(root);//中序遍歷輸出
printf("\n后序遞歸遍歷：");
PostOrderTraverse(root);//中序遍歷輸出
printf("\n層次非遞歸遍歷：");
LevelOrderTraverseNonRec(root);//層次遍歷輸出
printf("\n二叉樹的深度為：%d",maxDepth(root));
printf("\n二叉樹的高度為：%d",BiTreeHeight(root));
printf("\n葉子節點為：%d",LeafNodeNum(root));
printf("\n總節點為：%d", CountNode(root));
printf("\n第3層節點個數為：%d",LevelNodeNum(root, 3));
BiTree q;
q = SearchNode(root, 9);
if (q) {
printf("\n查找到了 ：%d", q->data);
} else {
printf("\n沒有查找到 9 ");
}
return 0;
}