密碼學之公鑰密碼算法

公鑰密碼算法簡介

​ 公鑰密碼算法在加密和解密中使用一對不同的密鑰，其中一個密鑰公開，稱為公鑰，寧一個密鑰保密，稱為私鑰，且由公鑰求解私鑰計算是不可行的的。顧名思義，公鑰是公開的。

 

RSA公鑰密碼體制

簡介

​ 是迄今為止理論上最為成熟完善的公鑰密碼體制。也是目前廣泛應用的公鑰密碼體制。RSA的基礎是數論的歐拉定理，他的安全性依賴於大整數因子分解的困難。

數學知識補充

互質

如兩個正整數，除了1之外就沒有其他公因子，就稱這兩個正整數是互質的。而且並沒有要求這兩個正整數都是質數，如15和4就是互質的。

歐拉函數

是求小於x並且和x互質的數的個數。其通式為φ(x) = x(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pₙ)，其中p1，p2..pn為x的所有質因數，x為不為零的整數。

比如x=16時φ(16) = 16 * (1-1/2) = 8

我們也可以列舉與16互質，且小於16的數: 1,3,5,7,9,11,13,15,個數為8個

而在RSA求密鑰對中就需要用到歐拉函數的一個性質，即如果p是素數的話，φ(p)=p-1。

模反元素

如果兩個正整數a和b互質，那么一定可以找到整數n，使得ab-1被n整除，或者說ab被n整除的余數是1。一般在已知其中一個整數假如是a和整數n的情況下，求另一個整數b的運算就是模反運算。

其解法包括朴素算法，輾轉相除法，歐幾里得算法。

RSA生成公鑰私鑰對

1. 選取兩個不同的大素數p和q

2. 計算n=p*q,並計算n的歐拉函數φ(n)=(p-1)(q-1),也就是求小於n且與n互質的數。

3. 隨機選取正式e<Z,1<e<φ(n)作為公鑰之一，且要滿足e與φ(n)互質。

4. 采用模反算法計算私鑰d，使ed=1(modφ(n))，也就是d=e⁻¹(modφ(n))，也就是(ed-1)能被φ(n)整除

5. 得到公鑰(e,n)和私鑰d

加密過程

RSA的加密函數很簡單，對於明文m，公鑰(e,n)，E(m)=mᵉ(modn)

​解密過程

RSA的解密過程也很簡單移動，對於密文c，私鑰d，D(c)=cᵈ(modn)

使用流程