本文是為了cad.net 數學基礎的防丟鏈接
轉載自 https://blog.csdn.net/jiangyb999/article/details/89366912
最近翻看我以前的博文，看到計算LWPLINE中凸度圓弧的圓心的公式那篇，一時竟想不起這公式是如何推導的了。（http://blog.sina.com.cn/s/blog_66349acf0102vivw.html）
這里把推導過程簡單描述一下，為了以后不再忘記。
注：本來想發在新浪博客上，奈何人家在維護，要5月才能恢復，已經寫好的文，怕丟失，就發到了這里。
首先要明確lwpline中圓弧的定義，在Autodesk的文檔中能見到兩種敘述：
1，凸度是圓弧圓心角的四分之一的正切
2，凸度等於圓弧的弓高和圓弧的前進距離的比，即凸度=2H/L，H為弓高，L為前進的長度，也即弦長。
這2種敘述表達的含義是一致的，只是第一種方便計算，第二種更直觀。
從圖上可知，此段圓弧的凸度 bulge=2H/L=tan(β)=tan(α/2)
這里α=2β，應該可以證明的。
(補充一下這個證明，見下圖，從圖上可看出，90 = α/2 + γ = β + γ，即 β = α/2）
可以想象，以AB的中點C為圓心，以紅線段的長度為半徑（記為r），以CB為起始位置逆時針旋轉90度就能得到O點。
記AB的傾角為θ，則
那么O點的坐標為：
我們知道 α=2β， 所以：
把C點坐標( (x1+x2)/2, (y1+y2)/2)， r，以及sin(θ), cos(θ) 帶入公式(1)，得到O點的坐標為：
化簡后得：
以上公式是以逆時針劣弧推導的結果，那么對於逆時針優弧以及順時針優劣弧是否也適用呢？
答案是：適用！不用做任何更改。
秘密就在於參數b具有自動調節功能。
下面簡單分析一下。
上面是逆時針優弧，此時的凸度bulge>1，那么b<0，所以 r<0
即：逆時針旋轉一個負的向量，相當於順時針旋轉其反向量（正向量）。
從圖上可以直觀的看到，實際是順時針旋轉到達的圓心位置。
這是一個順時針的劣弧，凸度bulge < 0, |bulge| < 1, 可以得到 b < 0, r < 0
與上面一樣的道理，也是順時針旋轉到達圓心位置。
這是一個順時針的優弧，bulge<0且 |bulge|>1, 那么 b>0, r>0
對於r>0的情況，仍然是逆時針旋轉。
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所以，正是由於bulge可正可負，參數b才天生具有調節旋轉方向的功能。
因此，無需討論bulge是否正負，統統使用一組公式即可計算出圓心。
最后感慨一句：
Autodesk用凸度的正負表示圓弧的方向，真乃神來之筆。!