Latex學習筆記（三）

3 排版數學公式

3.1 宏包

1. amsmath宏包：多行公式的排版；
2. amsfonts宏包以及基於它的amssymb宏包提供了豐富的數學符號；
3. amsthm宏包：擴展了Latex定理證明格式。

3.2 公式排版基礎

3.1.1 行內和行間公式

• 數學公式有兩種排版公式：
• 　　與文字混排，稱為行內公式；
  • 　　由一對$符號包裹
• 　　單獨列為一行排版，稱為行間公式。
• 　　由equation環境包裹
• 　　該環境為公式自動生成一個編號，這個編號可以用\label和\ref生成交叉引用。
• 　　amsmath的\eqref命令可以為引用自動加上圓括號；
• 　　\tag命令手動修改公式的編號；
• 　　\notag命令取消公式編碼。
• 　　將公式用命令 \[ 和 \] 包裹行間公式，將不帶編號；　　
• 行間公式的對齊、編號位置等性質由文檔類選項控制：
• 　　文檔類的fleqn選項令行間公式左對齊；
• 　　文檔類的Leqno選項令編號放在公式左邊。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm}%數學公式宏包
    \begin{document}
        The Pythagorean theorem is $a^2 + b^2 = c^2$.%兩個$符號直接引用
        
        The Pythagorean theorem is:
            \begin{equation} %equation環境自動帶編號
                a^2 + b^2 = c^2 \label{pythagorean}
            \end{equation}
            
        Equation \eqref{pythagorean} is called `Gougu theorem' in Chinese.
        
        It's wrong to say
            \begin{equation}
                1 + 1 = 3 \tag{tagname}
            \end{equation}
            or
            \begin{equation}
                1 + 1 = 4 \notag %equation環境自動帶編號，\notag命令去掉帶編號的命令
            \end{equation}
            
        \begin{equation*}%帶星號的equation環境
            a^2 + b^2 = c^2
        \end{equation*}
        
        \begin{equation}%未帶星號的equation環境
            a^2 + b^2 = c^2
        \end{equation}
        
        For short:
            \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
            
        Or if you like the long one:
        \begin{displaymath}
            a^2 + b^2 = c^2
        \end{displaymath}
        
        In text:
        $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$.
        In display:
        \[
        \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi^2}{6}
        \]
    \end{document}

3.2.2 數學模式

• 使用$開啟行內公式輸入，或時使用\[命令、equation環境時，latex就進入了數學模式；
• 數學模式相比於文本模式由以下特點：
  • 　　輸入的空格會被忽略。需要認為引入間距時，使用\quad和\qquad等命令；
  • 　　不允許有空行（分段）。
  • 　　所有的字母被當作數學公式中的變量處理，字母間距與文本模式不一致，也無法生成單詞之間的空格。如果想在數學公式中輸入正體的文本，
    • 　　簡單情況可以使用\mathrm命令；
    • 　　用amsmath提供的\text命令。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm}%數學公式宏包
    \begin{document}
        $x^{2} \geq 0 \qquad\text{for \textbf{all} }x\in\mathbb{R}$
    \end{document}

 

3.3 數學符號

latex默認提供了常用的數學符號，amssymb宏包提供了一些次常用的符號。

3.3.1 一般符號

• 希臘字母符號的名稱就是其英文名稱，如α(\alpha)、β(\beta) 等等；
• 大寫的希臘字母為首字母大寫的命令，如Γ(\Gamma)、Δ(\Delta) 等等；
• 無窮大符號為∞(\infty)；
• 省略號有...(\dots) 和…(\cdots) 兩種形式；
• \ldots 和\dots 是完全等效的，它們既能用在公式中，也用來在文本里作為省略號；
• 在矩陣中可能會用到豎排的...(\vdots) 和斜排的...(\ddots)。 

3.3.2 指數、上下標和導數

• 在latex中用^和_標明上下標；
  • 　　注意：上下標的內容（子公式）一般需要用花括號包裹，否則上下標只對后面的一個符號起作用。　
• 導數符號'是一類特殊的上標，可以適當連用表示多階導數，也可以在其后連用上標。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm}%數學公式宏包
    \begin{document}
        $p^3_{ij} \qquad m_\mathrm{Knuth}\qquad \sum_{k=1}^3 k $
        
        $a^x+y \neq a^{x+y}\qquad e^{x^2} \neq {e^x}^2$

        $f(x) = x^2 \quad f'(x) = 2x \quad f''^{2}(x) = 4 \quad f^{(2)}(x) = 4$
    \end{document}

3.3.3 分式和根式

• 分式使用\frac{分子}{分母}來書寫。
  • 　　amsmath宏包提供了方便的命令\dfrac和\tfrac，令用戶能夠在行內使用正常大小的分式，或是反過來。
• 分式的大小在行間公式中是正常大小，而在行內被極度壓縮。一般的根式使用\sqrt{…}；表示n次方根時寫成\sqrt[n]{…}。

 

• 特殊的分式形式，如二項式結構，由amsmath宏包的\binom命令生成。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm}%數學公式宏包
    \begin{document}
        In display style: \[ 3/8 \qquad \frac{3}{8} \qquad \tfrac{3}{8} \]
        
        In text style: $1\frac{1}{2}$~hours \qquad $1\dfrac{1}{2}$~hours
        
        $\sqrt{x} \Leftrightarrow x^{1/2} \quad \sqrt[3]{2} \quad \sqrt{x^{2} + \sqrt{y}}$
        
        Pascal's rule is
        \[ \binom{n}{k} =\binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1} \]
    \end{document}

3.3.4 關系符

latex還提供了自定義二元關系符分命令\stackrel，用於將一個符號疊加在原有的二元關系符之上 \[ f_n(x) \stackrel{*}{\approx} 1 \] ；效果如下圖：

 3.3.5 算符

• 常用的有乘號× (\times)、除號÷ (\div)、點乘· (\cdot)、加減號± (\pm) / ∓(\mp) 等等；
• ∇ (\nabla) 和@ (\partial) 也是常用的算符，雖然它們不屬於二元算符。

 3.3.6 巨算符

• 積分號∫(\int)、求和號∑(\sum) 等符號稱為巨算符；巨算符在行內公式和行間公式的大小和形狀有區別。
• 巨算符的上下標位置可由\limits 和\nolimits 調整：
  • 　　前者令巨算符類似lim 或求和算符∑，上下標位於上下方；
  • 　　后者令巨算符類似積分號，上下標位於右上方和右下方。
• amsmath 宏包還提供了\substack，能夠在下限位置書寫多行表達式；subarray 環境更進一步，令多行表達式可選擇居中(c) 或左對齊(l)。
  

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm}%數學公式宏包
    \begin{document}
        In text:
        $\sum_{i=1}^n \quad \int_0^{\frac{\pi}{2}} \quad \oint_0^{\frac{\pi}{2}} \quad \prod_\epsilon $ \\
        In display:
        \[\sum_{i=1}^n \quad \int_0^{\frac{\pi}{2}} \quad \oint_0^{\frac{\pi}{2}} \quad \prod_\epsilon \]
        
        In text:
        $\sum\limits_{i=1}^n \quad \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \quad \prod\limits_\epsilon $ \\
        In display:
        \[\sum\nolimits_{i=1}^n \quad \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \quad \prod\nolimits_\epsilon \]
        
        \[ \sum_{\substack{0\le i\le n \\
        j\in \mathbb{R}}} P(i,j) = Q(n) \]
        \[
        \sum_{
                \begin{subarray}{l} 
                    0\le i\le n \\
                    j\in \mathbb{R}
                \end{subarray}
            }
        P(i,j) = Q(n)
        \]
    \end{document}

3.3.7 數學重音和上下括號

•  \overbrace 和 \underbrance 命令用來生成上/下括號，各自可帶一個上/下標公式。
  • 　　$\underbrace{\overbrace{(a+b+c)}^6 \cdot \overbrace{(d+e+f)}^7} _\text{meaning of life} = 42$  

 3.3.8 箭頭

• amsmath 的\xleftarrow 和\xrightarrow 命令提供了長度可以伸展的箭頭，並且可以為箭頭增加上下標：
  • 　　 \[ a\xleftarrow{x+y+z} b \] 2 \[ c\xrightarrow[x<y]{a*b*c}d \] 
  •  

3.3.9 括號和定界符

•  定界符大小的調整（\big,\bigg,\bigl,\biggl,\bigr,\biggr等）

　　　　　　$\Bigl((x+1)(x-1)\Bigr)^{2}$
        
        　$\bigl( \Bigl( \biggl( \Biggl( \quad \bigr\} \Bigr\} \biggr\} \Biggr\} \quad \big\| \Big\| \bigg\| \Bigg\| \quad \big\Downarrow \Big\Downarrow \bigg\Downarrow \Bigg\Downarrow$

3.4 多行公式

3.4.1 長公式折行

• amsmath宏包的multline環境提供了書寫折行長公式的方便環境；
• 　　它允許\\折行，將公式編號放在最后一行；
• 　　多行公式的首行左對齊，末行右對齊，其余行居中；
• 　　公式的最后一行不寫\\，如果寫了，反倒會產生一個多余的空行。

3.4.2 多行公式

• align環境，將公式用&隔為兩部分並對齊，分隔符通常放在等號左邊；
• align環境會給每行公式都編號，可以用\notag去掉某行的編號；
• 為了對齊等號，我們可以將分隔符放在右側，並且此時需要在等號后添加一對括號{}以產生正常的間距；
• align還能夠對齊多組公式，除等號前的&之外，公式之間也用&分隔；
• 如果不需要按等號對齊，只需羅列數個公式，gather將是一個很好用的環境。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm}%數學公式宏包
    \begin{document}
        
        \begin{align}
            a & = b + c \\
            & = d + e
        \end{align}
        
        \begin{align}
            a ={} & b + c \\
            ={} & d + e + f + g + h + i + j + k + l \notag \\
            & + m + n + o \\
            ={} & p + q + r + s
        \end{align}
        
        \begin{align}
            a &=1 & b &=2 & c &=3 \\
            d &=-1 & e &=-2 & f &=-5
        \end{align}
        
        \begin{gather}
            a = b + c \\
            d = e + f + g \\
            h + i = j + k \notag \\
            l + m = n
        \end{gather}

    \end{document}

 3.4.3 公用編號的多行公式

• 將多個公式組在一起公用一個編號，編號位於公式的居中位置：
  • 　　amsmath宏包提供了諸多aligned、gathered等環境，與equation環境套用。
• 以-ed結尾的環境用法與前一節不以-ed結尾的環境用法一一對應。
• 和aligned環境用法類似
  • 　　用於和equation環境套用；
  • 　　區別：split只能將每行的一個公式分兩欄，aligned允許每行多個公式多欄。

以aligned舉例：

\begin{equation}
            \begin{aligned}
                a &= b + c \\
                d &= e + f + g \\
                h + i &= j + k \\
                l + m &= n
            \end{aligned}
        \end{equation}

 

 

3.5 數組和矩陣

• 排版二維數組，提供array環境：
  • 　　用法與tabular環境極為類似；
  • 　　需要定義列格式，並用\\換行；
  • 　　數組可作為一個公式塊，在外套用\left、\rigt等定界符。
• 可以利用空的定界符排版除大括號方程組的效果（同cases環境效果相同）。
•  不帶定界符的matrix，以及帶各種定界符的矩陣pmatrix,bmatrix,Bmatrix,vmatrix,Vmatrix，使用這些環境，無需給定列格式。