表格法

Tabular Method 表格法

還在為求積分頭疼嗎？

還在為分部積分公式記不清煩惱嗎？

還在為求積公式用錯而后悔不已嗎？

來使用表格法吧，然你徹底擺脫分部積分！讓你解題總快人一步！...

什么是表格法？

表格法是一種更加簡潔，優美的，很大程度上可以取代分部積分法（Integration by Parts）的求解方法，定理如下：

$$
\int f(x) g(x)dx =\sum_{j=0}^{n-1} (-1)^jfj(x) g^{-(j+1)}(x) + (-1)^n \int f^{n}(x)g(x)dx
$$

亦即:

$$
f g^{(-1)}-f g^{(-2)}+f g^{{(-3)}-\cdots+(-1)} f^{(n-1)} g^{(-n)}+(-1) \int f^{(n)} g^{(-n)} dx
$$

為了簡潔起見，記:

$$
f^{(-n)}=\int \cdots \int_{\mathbf{D}} f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \mathrm{d} x_{1} \ldots \mathrm{d} x_{n}
$$

那么上式就可以列成這樣的表格：

正負號	D（積分）	I（導數）	代表的積分
+	$f(x)$	g(x)	$\int f^(x)g(x)dx$
-	$f^{(1)}$	$g^{(-1)}$	$-1 \cdot \int f{(1)}(x)g(x)dx$
+	$f^{(2)}$	$g^{(-2)}$	$\int f{(2)}(x)g(x)dx$
-	$f^{(3)}$	$g^{(-3)}$	$\int f{(3)}(x)g(x)dx$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$(-1)^{(n-1)}$	$f^{(n-1)}$	$g^{(-(n-1))}$	$(-1)^{(n-1)} \int f{n-1}(x)g(x)dx$
$(-1)^{(n)}$	$f^{(n)}$	$g^{(-n)}$	$(-1)^n \int f{n}(x)g(x)dx$

看到這里，相信大家已經會了吧。那么今天就此結束，咱們下次見。

什么？要例子？這都說的多清楚了，要什么例子。

看不懂？好吧，那就給幾個例子吧

表格法展開停止條件

遇到0

例題一：求解下面無窮積分：
$$
\int_0^{\infty} x^2 e^{-x}dx
$$
解：根據表格法，可以其不定積分的表格如下：

	D	I	rep
+	$x^2$	$e^{-x}$	$\int x^2 e^{-x}dx$
-	$2x$	$-e^{-x}$	$\int 2x e^{-x}dx$
+	$2$	$e^{-x}$	$\int 2 e^{-x}dx$
-	$0$	$-e^{-x}$	$\int 0 dx$

$$
\therefore \int x^2 e^{-x}dx = -x^2e-2xe^{-x}-2e+C
$$

遇到循環

例題二：求解下面不定積分：
$$
\int e^x sin(x) dx
$$
解：根據表格法，可以該不定積分的表格如下：

	D	I	rep
+	$sin(x)$	$e^{x}$	$\int e^{x}sin(x)dx$
-	$cos(x)$	$e^{x}$	$\int e^{x}cos(x)dx$
+	$-sin(x)$	$e^{x}$	$-\int e^{x}sin(x)dx$
-	$-cos(x)$	$e^{x}$	$\int cos(x) e^x dx$

在上面的表格中，我們發現它可以無限往下面展開，但我們只需要看清楚第三次展開的結果，發現了嗎？它就是原積分的相反數（這是特殊情況，一般只要呈現出倍數關：系就可以停止展開了），這時結束展開，可以得到:
$$
\int e^x sin(x) dx=sin(x)e^x-cos(x)ex-\int e^{x}sin(x)dx
$$

可以寫成簡單積分

例題三：求解下面不定積分：
$$
\int x^4 lnx dx
$$
解：根據表格法，可以該不定積分的表格如下：

	D	I	rep
+	$x^4$	$lnx$	$\int x^4 lnx dx$
-	$4x^3$	?	？

$lnx$的積分不會求怎么辦？換個位不就行了$lnx$的導數總是簡單了吧

	D	I	rep
+	$lnx$	$x^4$	$\int x^4 lnx dx$
-	$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{5}x^5$	$\frac{1}{5}\int x^4dx$
+	----	-----	-----

當發現出現了賊簡單的一個式子時，就不要在展開了，直接就出答案了
$$
\therefore \int x^4 lnx dx = lnx\cdot \frac{1}{5}x^5- \frac{1}{5}\int x^4 dx
$$

講到這里，你總該滿意了吧，謝謝支持！某年某月，我們再見！

[1]:1988年的電影《為人師表 / Stand and Deliver》,里面有這個表格法的片段。“Tic, Tac, Toe, Simple!”