22/01/21 yyq 的辛丑年末群友胡策 題解


比賽鏈接

跟洛谷月賽正好撞了,所以很多群友沒來打,有點可惜。

不過學長 sxw 竟然也來參加了這場比賽(雖然來秒了一道題就潤了),令人很是驚喜。

題目來源:2019 山東二輪省集

我手頭只有題面和數據,原題解我全找不着了,所以只好自己寫題解。

T1

原題:D3T1 啊孤獨感放辣椒

折半,在兩側分別枚舉子集。則合並信息時需要滿足的條件是 \(A_1+A_2\leq B_1+B_2\leq C_1+C_2\)

拆出來三個不等式,其中有一個沒有用處。

剩下的兩個不等式實際上就是二維偏序,一維雙指針,另一維用隨便什么數據結構維護區間最小值即可。

代碼(我賽時寫的):

//什么時候我才能有杜爺一半強啊/kk
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define lg(x) (31-__builtin_clz(x))
#define int long long
using namespace std;
const int N=25,V=5000086,INF=1e18;
int n,tot,cnt1,cnt2,ans=INF;
int a[N],sum[1<<N],mn[V<<2],num[V];
struct infor{
	int a,b,c;
	infor(){}
	infor(int aa,int bb,int cc){a=aa;b=bb;c=cc;}
}s1[V],s2[V];
int lowbit(int x){return x&(-x);}
int Min(int a,int b){return a<b?a:b;}
int read(){
	char ch=getchar();int nn=0,ssss=1;
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')ssss*=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){nn=nn*10+(ch-'0');ch=getchar();}
	return nn*ssss;
}
bool build(int k,int l,int r){
	mn[k]=INF;if(l==r)return true;
	int mid=(l+r)>>1;return build(k<<1,l,mid)|build(k<<1|1,mid+1,r);
}
int ask(int k,int l,int r,int x,int y){
	if(l>=x&&r<=y)return mn[k];
	int mid=(l+r)>>1,ret=INF;
	if(x<=mid)ret=Min(ret,ask(k<<1,l,mid,x,y));
	if(mid<y)ret=Min(ret,ask(k<<1|1,mid+1,r,x,y));
	return ret;
}
bool change(int k,int l,int r,int x,int y){
	mn[k]=Min(mn[k],y);if(l==r)return true;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid)return change(k<<1,l,mid,x,y);
	return change(k<<1|1,mid+1,r,x,y);
}
signed main(){
//	freopen("ex_A.in","r",stdin);
	n=read();for(int i=0;i<n;i++)a[i]=read();
	int mid=n/2;int U=(1<<mid)-1;
	for(int S=1;S<=U;S++)sum[S]=sum[S^lowbit(S)]+a[lg(lowbit(S))];
	for(int S=0;S<=U;S++)
		for(int ss=S;;ss=(ss-1)&S){
			s1[++cnt1]=infor(sum[ss],sum[S^ss],sum[U^S]);
			if(!ss)break;
		}
	U=(1<<(n-mid))-1;
	for(int S=1;S<=U;S++)sum[S]=sum[S^lowbit(S)]+a[mid+lg(lowbit(S))];
	for(int S=0;S<=U;S++)
		for(int ss=S;;ss=(ss-1)&S){
			s2[++cnt2]=infor(sum[ss],sum[S^ss],sum[U^S]);
			if(!ss)break;
		}
	sort(s1+1,s1+cnt1+1,[&](infor a,infor b){return a.a-a.b<b.a-b.b;});
	sort(s2+1,s2+cnt2+1,[&](infor a,infor b){return a.b-a.a<b.b-b.a;});
	for(int i=1;i<=cnt1;i++)num[i]=s1[i].b-s1[i].c;
	for(int i=1;i<=cnt2;i++)num[cnt1+i]=s2[i].c-s2[i].b;
	sort(num+1,num+cnt1+cnt2+1);tot=unique(num+1,num+cnt1+cnt2+1)-num-1;
	build(1,1,tot);int lp=1;
	for(int i=1;i<=cnt2;i++){
		while(lp<=cnt1&&s1[lp].a-s1[lp].b<=s2[i].b-s2[i].a){
			int pos=lower_bound(num+1,num+tot+1,s1[lp].b-s1[lp].c)-num;
			change(1,1,tot,pos,s1[lp].c-s1[lp].a);lp++;
		}
		int pos=lower_bound(num+1,num+tot+1,s2[i].c-s2[i].b)-num;
		ans=Min(ans,s2[i].c-s2[i].a+ask(1,1,tot,1,pos));
	}
	printf("%lld",ans);
}

T2

原題:D8T2 B

還以為是什么牛逼 \(\text{polylog}\) 做法,沒想到是根號 \(\log\)

這道題可以看作是 LNOI 某經典題的帶修版本,考慮沿用那題的思路。

我們把所有點按照序號分塊,對每一個塊維護塊內結點到根節點距離之和;開 \(\frac{n}{B}\) 個樹狀數組,以 \(\text{DFS}\) 序為下標,維護每一層的結點信息。

這里的“結點信息”就是和 LNOI 那道題里需要維護的信息很相似的東西,需要注意的是這題的路徑需要帶權。初始時這個東西可以 \(\text{DFS}\) 遞推出來,然后修改操作就是在做子樹加。有了這兩個東西,整塊就很好處理了。

對於散塊其實也很簡單,再開一棵樹狀數組,維護每個點到根節點的距離即可。修改仍然是子樹加。

代碼(我賽后補的):

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#define int long long
#define lg(x) (31-__builtin_clz(x))
using namespace std;
const int N=60086,BC=251;
int n,m,dfncnt,len,B,T,tot,lans;
int h[N],dfn[N],dis[N],dfr[N],dfa[N],bl[N],el[N],er[N],eu[N],ev[N],ew[N],euler[N<<1][18];
int L[BC],R[BC],sum[BC],cnt[BC][N];
struct edge{int v,w,nxt;}e[N<<1];
struct BIT{
	int sze,c[N];
	int lowbit(int x){return x&(-x);}
	bool build(int x){sze=x;for(int i=1;i<=sze;i++)c[i]=0;return true;}
	bool updata(int pos,int num){while(pos<=sze)c[pos]+=num,pos+=lowbit(pos);return true;}
	bool add(int l,int r,int z){updata(l,z);updata(r+1,-z);return true;}
	int query(int pos){int ret=0;while(pos)ret+=c[pos],pos-=lowbit(pos);return ret;}
}t1,t2[BC];
bool Swap(int &a,int &b){a^=b^=a^=b;return true;}
int Min(int a,int b){return a<b?a:b;}
int Max(int a,int b){return a>b?a:b;}
int read(){
	char ch=getchar();int nn=0,ssss=1;
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')ssss*=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){nn=nn*10+(ch-'0');ch=getchar();}
	return nn*ssss;
}
int gc(){char ch=getchar();while(ch!='m'&&ch!='q')ch=getchar();return ch=='q';}
bool add(int u,int v,int w){e[++tot].v=v;e[tot].w=w;e[tot].nxt=h[u];h[u]=tot;return true;}
bool dfs(int np,int lst){
	dfn[np]=++dfncnt;dfa[dfncnt]=np;euler[++len][0]=dfncnt;el[np]=len;cnt[bl[np]][np]++;
	for(int i=h[np];i;i=e[i].nxt){
		if(e[i].v==lst)continue;if(ev[e[i].w]==np)Swap(eu[e[i].w],ev[e[i].w]);
		dis[e[i].v]=dis[np]+ew[e[i].w];dfs(e[i].v,np);euler[++len][0]=dfn[np];
		for(int j=1;j<=T;j++)cnt[j][np]+=cnt[j][e[i].v];
	}
	er[np]=len;dfr[np]=dfncnt;return true;
}
bool dfs2(int np,int lst,int flr){
	for(int i=h[np];i;i=e[i].nxt){
		if(e[i].v==lst)continue;
		int delta=ew[e[i].w]*cnt[flr][e[i].v];
		dis[e[i].v]=dis[np]+delta;sum[flr]+=delta;
		dfs2(e[i].v,np,flr);
	}
	return true;
}
int qmin(int l,int r){int lo=lg(r-l+1);return Min(euler[r][lo],euler[l+(1<<lo)-1][lo]);}
int lca(int x,int y){if(el[x]>er[y])Swap(x,y);return dfa[qmin(el[x],er[y])];}
signed main(){
	n=read();m=read();int typ=read();t1.build(n);
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u=read();int v=read();add(u,v,i);add(v,u,i);
		eu[i]=u;ev[i]=v;ew[i]=read();
	}
	int B=sqrt(n);for(int i=1;i<=n;i++)bl[i]=(i-1)/B+1;T=bl[n];
	for(int i=1;i<=T;i++){L[i]=R[i-1]+1;R[i]=R[i-1]+B;t2[i].build(n);}R[T]=n;
	dfs(1,0);for(int i=1;i<=n;i++)t1.updata(i,dis[dfa[i]]-dis[dfa[i-1]]);
	for(int i=1;i<=T;i++){
		dfs2(1,0,i);
		for(int j=1;j<=n;j++)t2[i].updata(j,dis[dfa[j]]-dis[dfa[j-1]]);
	}
	for(int j=1;j<=lg(len);j++)
		for(int i=1<<j;i<=len;i++)
			euler[i][j]=Min(euler[i][j-1],euler[i-(1<<(j-1))][j-1]);
	for(int asdf=1;asdf<=m;asdf++){
		int lm=lans%n;int opt=gc();
		if(opt&1){
			int l=read()^(lm*typ);int r=read()^(lm*typ);
			int x=read()^(lm*typ);lans=(r-l+1)*t1.query(dfn[x]);
			if(bl[l]+1>=bl[r])
				for(int i=l;i<=r;i++)
					lans+=t1.query(dfn[i])-(t1.query(dfn[lca(i,x)])<<1);
			else{
				for(int i=l;i<=R[bl[l]];i++)lans+=t1.query(dfn[i])-(t1.query(dfn[lca(i,x)])<<1);
				for(int i=L[bl[r]];i<=r;i++)lans+=t1.query(dfn[i])-(t1.query(dfn[lca(i,x)])<<1);
				for(int i=bl[l]+1;i<bl[r];i++)lans+=sum[i]-(t2[i].query(dfn[x])<<1);
			}
			printf("%lld\n",lans);
		}
		else{
			int x=read()^(lm*typ);int y=(read()^(lm*typ))-ew[x];ew[x]+=y;
			t1.add(dfn[ev[x]],dfr[ev[x]],y);
			for(int i=1;i<=T;i++){
				sum[i]+=cnt[i][ev[x]]*y;
				t2[i].add(dfn[ev[x]],dfr[ev[x]],cnt[i][ev[x]]*y);
			}
		}
	}
}

T3

原題:D9T2 B

7Wm9Dx.png

上圖為杜爺八百年前對這題用到的思路作出的評價。

\(l^k\) 展開為 \(\sum\limits_{i\geq0}{k\brace i}i!\binom{l}{i}\),交換求和順序,在每個點對這個式子的每一層 \(i\) 分別維護。轉移用二項式系數的遞推式,直接拓撲排序即可。

\(O((n+m)k)\)\(\text{1s}\) 時限有點卡常,但是原題就是這個時限,我沒改。

代碼(我賽時寫的):

//什么時候我才能有杜爺一半強啊/kk
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100086,M=200086,K=514,MOD=998244353;
int n,m,k,tot,deg[N],h[N],q[N],f[N][K],s[K][K],fac[K];
struct edge{int v,nxt;}e[M];
inline int Add(int &a,int b){return(a+=b)>=MOD?a-=MOD:a;}
inline int vAdd(int a,int b){return(a+=b)>=MOD?a-=MOD:a;}
inline int Sub(int &a,int b){return(a-=b)<0?a+=MOD:a;}
inline int vSub(int a,int b){return(a-=b)<0?a+=MOD:a;}
inline int Mul(int a,int b){return 1ll*a*b%MOD;}
inline int qpow(int a,int b){
	int ret=1;
	while(b){if(b&1)ret=Mul(ret,a);a=Mul(a,a);b>>=1;}
	return ret;
}
inline int read(){
	char ch=getchar();int nn=0,ssss=1;
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')ssss*=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){nn=nn*10+(ch-'0');ch=getchar();}
	return nn*ssss;
}
inline bool add(int u,int v){e[++tot].v=v;e[tot].nxt=h[u];h[u]=tot;return true;}
int main(){
//	freopen("ex_C.in","r",stdin);
//	freopen("C.out","w",stdout);
	n=read();m=read();k=read();
	for(int i=1;i<=m;i++){int u=read();int v=read();add(u,v);deg[v]++;}
	fac[0]=s[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		fac[i]=Mul(fac[i-1],i);
		for(int j=1;j<=i;j++)s[i][j]=vAdd(Mul(s[i-1][j],j),s[i-1][j-1]);
	}
	f[1][0]=1;int qh=1,qt=1;q[1]=1;
	while(qh<=qt){
		int np=q[qh++];
		for(int i=h[np];i;i=e[i].nxt){
			deg[e[i].v]--;if(deg[e[i].v]==0)q[++qt]=e[i].v;
			Add(f[e[i].v][0],f[np][0]);
			for(int j=1;j<=k;j++)
				Add(f[e[i].v][j],vAdd(f[np][j],f[np][j-1]));
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int ans=0;
		for(int j=0;j<=k;j++)Add(ans,Mul(s[k][j],Mul(fac[j],f[i][j])));
		cout<<ans<<'\n';
	}
}


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