CSP 202112-1 序列查詢（前綴和+差分）

首先，我們來理一遍題意，第一行輸入n是整數序列長度，且整數值小於N，第二行為整數序列A1~An，f(x)是序列中小於等於x的整數里最大的數的下標。我們需要計算的是sum=f(0)+f(1)+...+f(N-1)。

本來沒什么思路，但一看到樣例解釋，這不就是前綴和+差分嘛！

用樣例1來解釋一下思路：

思路：根據題意，當x<2時，序列中小於等於x的最大數是0，下標為0，即f(0)，f(1)都為0，當2<=x<5時，序列中小於等於x的最大數是2，下標為1，即f(2)~f(4)都為1，則可知當x取[A[i],A[i+1]）時，序列中小於等於x的最大數是A[i]，下標為i，即f(A[i])~f(A[i+1]-1)都等於i。

因為f(x)某一段范圍內的值都相等，且每一段范圍內f(x)的值比前一段范圍內的都要大1。所以我們可以讓f(x)在范圍[A[1],N-1]的值為1，后面每段范圍的值在原基礎上+1，即每段范圍[A[i],N-1]的值++，由此想到可以用差分和前綴和的方法。

開始解題：我們設置一個差分數組dif，dif[i]表示的是f(i)-f(i-1)，現在要使下標為[2,9]的f(x)值都要+1，那么對於下標為[2,9]的元素來說，它們的差分不會改變，因為大家都加了1，所以對一個范圍內的值操作，影響的只是范圍內與范圍外的值的差分，即范圍的臨界的差分。所以dif[2]++即可。同理，我們要使下標為[5,9]的f(x)值都要+1，dif[5]++即可。所以最后，我們只做了dif[2]++,dif[5]++,dif[8]++的工作，從而求出了f(x)的差分數組。

根據定理：f(x)=dif[1]+dif[2]+...+dif[x]=f(x)-f(0),最后再求f(x)的和即可。

代碼如下：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int M=1e7+5;

int n,N,dif[M],f[M];

int main(){

    int a;

    cin>>n>>N;

    for(int i=1;i<=n;i++){

        cin>>a;

        dif[a]++;

    }

    int res=0;

    for(int i=1;i<N;i++)

       { f[i]=f[i-1]+dif[i]; res+=f[i];}

    cout<<res;

    return 0;

}

思路來源於：https://www.cnblogs.com/yongcheng137blogs/p/15412952.html

202109-2 非零段划分也是這個方法