CSP 202112-1 序列查询（前缀和+差分）

首先，我们来理一遍题意，第一行输入n是整数序列长度，且整数值小于N，第二行为整数序列A1~An，f(x)是序列中小于等于x的整数里最大的数的下标。我们需要计算的是sum=f(0)+f(1)+...+f(N-1)。

本来没什么思路，但一看到样例解释，这不就是前缀和+差分嘛！

用样例1来解释一下思路：

思路：根据题意，当x<2时，序列中小于等于x的最大数是0，下标为0，即f(0)，f(1)都为0，当2<=x<5时，序列中小于等于x的最大数是2，下标为1，即f(2)~f(4)都为1，则可知当x取[A[i],A[i+1]）时，序列中小于等于x的最大数是A[i]，下标为i，即f(A[i])~f(A[i+1]-1)都等于i。

因为f(x)某一段范围内的值都相等，且每一段范围内f(x)的值比前一段范围内的都要大1。所以我们可以让f(x)在范围[A[1],N-1]的值为1，后面每段范围的值在原基础上+1，即每段范围[A[i],N-1]的值++，由此想到可以用差分和前缀和的方法。

开始解题：我们设置一个差分数组dif，dif[i]表示的是f(i)-f(i-1)，现在要使下标为[2,9]的f(x)值都要+1，那么对于下标为[2,9]的元素来说，它们的差分不会改变，因为大家都加了1，所以对一个范围内的值操作，影响的只是范围内与范围外的值的差分，即范围的临界的差分。所以dif[2]++即可。同理，我们要使下标为[5,9]的f(x)值都要+1，dif[5]++即可。所以最后，我们只做了dif[2]++,dif[5]++,dif[8]++的工作，从而求出了f(x)的差分数组。

根据定理：f(x)=dif[1]+dif[2]+...+dif[x]=f(x)-f(0),最后再求f(x)的和即可。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int M=1e7+5;

int n,N,dif[M],f[M];

int main(){

    int a;

    cin>>n>>N;

    for(int i=1;i<=n;i++){

        cin>>a;

        dif[a]++;

    }

    int res=0;

    for(int i=1;i<N;i++)

       { f[i]=f[i-1]+dif[i]; res+=f[i];}

    cout<<res;

    return 0;

}

思路来源于：https://www.cnblogs.com/yongcheng137blogs/p/15412952.html

202109-2 非零段划分也是这个方法