一不小心就頹廢了3個多月，真爽，2022年了，還是得寫點東西。
寫的東西呢，是關於可逆反應中，物質的總量固定，該以怎樣的投料比投料才能使平衡轉化率最大。
之前做題的時候就錯了，后來問老師才知道是結論，可是，這玩意兒沒證明用起來也太不爽了。
於是，在網上到處找，終於摸清了證明的路數，在這里做個簡單的證明
首先，引入一個比較經典的問題：
假設對於多元函數的約束\(f(x_1,\dots,x_n)=0\)，我們想知道\(x_n\)的極值。
就類似於圓的方程中，強行分類討論得到\(y\)關於\(x\)的方程一樣，假設我們強行解出\(x_n\)的表達式：
\[x_n=g(x_1,\dots,x_{n-1}) \]
使得原方程恆成立，即：
\[f(x_1,\dots,g(x_1,\dots,x_{n-1}))\equiv0 \]
我們知道，想要\(x_n\)取得極值，一個必要條件就是對於\(i=1\dots n-1\)，\(\frac{\partial f}{\partial x_i}=0\)
對\(x_n\)求關於\(x_i\)偏導，即：
\[\frac{\partial g}{\partial x_i}=0 \]
於是，我們能得到\(n-1\)個方程：
\[\begin{cases} \frac{\partial g}{\partial x_1}=0\\ \dots\\ \frac{\partial g}{\partial x_{n-1}}=0\\ \end{cases} \]
解出來的\(x_1\dots x_{n-1}\)即為\(x_n\)取得極值時的取值，這玩意當然可以用來求曲線中某個變量的極值，也可以用來算圓錐曲線等二次曲線在某個點的切線斜率，當變量只有兩個的時候，就是通常所說的隱函數。
那么，對於這樣一個可逆反應：
\[a_1A_1(g) +a_2A_2(g)+\cdots+a_nA_n(g) \rightleftharpoons b_1B_1(g) +b_2B_2(g)\cdots+b_nB_n(g) \]
設它的初始物質總量為\(S\)，體積為\(V\)，\(A_{i(i=1\dots n-1)}\)量分數為\(\varphi_i\)，整個方程轉化的量為\(x\)，那么有：
\[k=\frac{\displaystyle\prod_{i=1}^{m}(\frac{b_ix}{V})^{b_i}}{\displaystyle\prod_{i=1}^{n-1}(\frac{S\cdot\varphi_i-a_ix}{V})^{a_i}\cdot[\frac{S\cdot(1-\sum_{i=1}^{n-1}\varphi_i)-a_nx}{V}]^{a_n}} \]
化簡得：
\[k\cdot V^{\sum_i^mb_i-\sum_i^na_i}=\frac{\displaystyle\prod_{i=1}^{m}(b_ix)^{b_i}}{\displaystyle\prod_{i=1}^{n-1}(S\cdot\varphi_i-a_ix)^{a_i}\cdot[S\cdot(1-\sum_{i=1}^{n-1}\varphi_i)-a_nx]^{a_n}} \]
那么我們定義：
\[K=k\cdot V^{\sum_i^mb_i-\sum_i^na_i} \]
有：
\[K\cdot\displaystyle\prod_{i=1}^{n-1}(S\cdot\varphi_i-a_ix)^{a_i}\cdot[S\cdot(1-\sum_{i=1}^{n-1}\varphi_i)-a_nx]^{a_n}-\displaystyle\prod_{i=1}^{m}(b_ix)^{b_i}=0 \]
這就是關於\(\varphi_1\cdots\varphi_{n-1}\)以及\(x\)的約束條件，寫得簡單點，就是對於\(\varphi_1\cdots\varphi_{n-1}\)以及\(x\)的多元函數：
\[f(\varphi_1,\dots,\varphi_{n-1},x)=0 \]
現令\(x=g(\varphi_1,\dots,\varphi_{n-1})\)
現在問題轉化為，如何在滿足約束\(f\)的情況下，求得\(x\)的最大值，由以上推論可知，滿足方程：
\[\begin{cases} \frac{\partial g}{\partial \varphi_1}=0\\ \dots\\ \frac{\partial g}{\partial \varphi_{n-1}}=0\\ \end{cases} \]
時的\(\varphi_1\dots\varphi_{n-1}\)即為\(x\)最大時的取值
那么：
\[\frac{\partial g}{\partial \varphi_t}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial \varphi_t}}{\frac{\partial f}{\partial g}}=0 \]
即：
\[\displaystyle \frac{1}{K}\cdot \frac{\partial f}{\partial \varphi_t}=\\ \prod_{i=1,i\neq t}^{n-1}(S\varphi_i-a_ix)^{a_i}\cdot a_t\cdot S(S\varphi_t-a_tx)^{a_t-1}\cdot(S-S\sum_{i=1}^{n-1}\varphi_i-a_nx)^{a_n}\\ -\prod_{i=1}^{n-1}(S\varphi_i-a_ix)^{a_i}\cdot Sa_n(S-S\sum_{i=1}^{n-1}\varphi_i-a_nx)^{a_n-1}\\ =0 \]
化簡得：
\[a_t(1-\sum_{i=1}^{n-1}\varphi_i)-\varphi_t a_n=0 \]
令\(\displaystyle \varphi_n=1-\sum_{i=1}^{n-1}\varphi_i\)，有：
\[\frac{\varphi_t}{a_t}=\frac{\varphi_n}{a_n} \]
這個式子的意義就是，當投料比等於化學計量數之比時，轉化率\(x\)取得最大值。
