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模塊導圖
知識剖析
函數的概念
1 概念
設\(A\)、\(B\)是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系\(f\)，使對於集合\(A\)中的任意一個數\(x\)，在集合\(B\)中都有唯一確定的數\(f(x)\)和它對應，那么就稱\(f：A→B\)為從集合\(A\)到集合\(B\)的一個函數．記作：\(y=f(x) ,x∈A\)．其中，\(x\)叫做自變量，\(x\)的取值范圍\(A\)叫做函數的定義域；與\(x\)的值相對應的\(y\)值叫做函數值，函數值的集合\(\{f(x) \mid x \in A\}\)叫做函數的值域．
2 定義域
① 概念 函數自變量\(x\)的取值范圍.
② 求函數的定義域主要應考慮以下幾點
\((1)\)分式的分母不等於零；
\((2)\)偶次方根的被開方數不小於零；
\((3)\)對數式的真數必須大於零；
\((4)\)指數、對數式的底必須大於零且不等於1；
\((5)\)指數為零底不可以等於零；
\((6)\)抽象函數的定義域較為復雜.
3 值域
① 概念 函數值\(y\)的取值范圍
② 求值域的方法
\((1)\)配方法
\((2)\)數形結合
\((3)\)換元法
\((4)\)函數單調性法
\((5)\)分離常數法
\((6)\)基本不等式法
4 區間
函數的表示方法
1 表格法
如上表，我們很容易看到\(y\)與\(r\)之間的函數關系.
在初中剛學畫一次函數圖像時，第一步就是列表，其實就是用表格法表示一次函數.
2 圖像法
如上圖，很清晰的看到某天空氣質量指數\(I\)與時間\(t\)兩個變量之間的關系，特別是其趨勢.
數學中的“數形結合”也就是這回事，它是數學一大思想，在高中解題中識圖和畫圖尤為重要.
3 解析式
求函數解析式的方法
\((1)\)配湊法
\((2)\)待定系數法
\((3)\)換元法
\((4)\)構造方程組法
\((5)\)代入法
經典例題
【題型一】 函數概念的理解
【典題1】設集合\(M=\{x \mid 0 \leq x \leq 2\}\),\(N=\{y \mid 0 \leq y \leq 2\}\), 給出如下四個圖形，其中能表示從集合\(M\)到集合\(N\)的函數關系的是( )
【解析】
\({\color{Red}{(本題相當把M=\{x \mid 0 \leq x \leq 2\}看成定義域， N=\{y \mid 0 \leq y \leq 2\}看成值域) }}\)
圖象\(A\)不滿足條件，因為當\(1<x≤2\)時，\(N\)中沒有\(y\)值與之對應.
圖象\(B\)不滿足條件，因為當\(x=2\)時，\(N\)中沒有\(y\)值與之對應.
圖象\(C\)不滿足條件，因為對於集合\(M=\{x \mid 0 \leq x \leq 2\}\)中的每一個\(x\)值，在集合\(N\)中有\(2\)個\(y\)值與之對應，不滿足函數的定義.
只有\(D\)中的圖象滿足對於集合\(M=\{x \mid 0 \leq x \leq 2\}\)中的每一個\(x\)值，在\(N=\{y \mid 0 \leq y \leq 2\}\)中都有唯一確定的一個\(y\)值與之對應，故選\(D\).
【典題2】給定的下列四個式子中，能確定\(y\)是\(x\)的函數的是( )
①\(x^2+y^2=1\)
②\(|x-1|+\sqrt{y^{2}-1}=0\)
③\(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=1\)
④\(y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}\)
A．① \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．② \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．④
【解析】①由\(x^2+y^2=1\)得\(y=\pm \sqrt{1-x^{2}}\)，不滿足函數的定義，
比如\(x=0\)，\(y=±1\)，所以①不是函數．
②由\(|x-1|+\sqrt{y^{2}-1}=0\)
得\(|x-1|=0\)，\(\sqrt{y^{2}-1}=0\)，
所以\(x=1\),\(y=±1\)，所以②不是函數．
③由\(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=1\)得\(y=(1-\sqrt{x-1})^{2}+1\)，滿足函數的定義，所以③是函數．
④要使函數\(y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}\)有意義，
則\(\left\{\begin{array}{l} x-2 \geq 0 \\ 1-x \geq 0 \end{array}\right.\)，解得\(\left\{\begin{array}{l} x \geq 2 \\ x \leq 1 \end{array}\right.\)，此時不等式組無解，所以④不是函數．
故選：\(C\)．
【點撥】函數中自變量\(x\)與函數值\(y\)的關系是“一對一或多對一”的關系，不能是“一對多”.
【題型二】求函數的定義域
【典題1】函數\(y=\dfrac{\sqrt{-x^{2}+2 x+3}}{x}\)的定義域是\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】要使函數有意義，
則\(\left\{\begin{array}{c} -x^{2}+2 x+3 \geq 0 \\ x \neq 0 \end{array}\right.\)，即\(\left\{\begin{array}{c} -1 \leq x \leq 3 \\ x \neq 0 \end{array}\right.\).
即\(-1≤x<0\)或\(0<x≤3\)，
即函數的定義域為\([-1 ,0)⋃(0 ,3]\)．
【典題2】下列各組函數中表示的函數不同的是 ( )
A．\(f(x)=x\),\(g(x)=\sqrt[3]{x^{3}}\)
B．\(f(x)=\sqrt{x^{2}}\),\(g(x)=|x|\)
C．\(f(x)=x^2-3x\),\(g(t)=t^2-3t\)
D．\(f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}\),\(g(x)=x+2\)
【解析】\(A\),\(B\),\(C\)的定義域和對應法則相同，表示同一函數，
\(D\)中\(g(x)=x+2\)的定義域是\(R\)，\(f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}\)定義域為\(\{x|x≠2\}\)，兩個函數的定義域不相同，不是同一函數.
故選：\(D\)．
【點撥】
① 判斷兩個函數是否是同一函數，看函數的定義域和解析式是否均相同；
② 函數反應的是兩個變量的關系，至於用什么字母表示都一樣，故選項\(C\)的\(f（x）=x^2-3x\)，\(g(t)=t^2-3t\)是同一函數.
【典題3】已知\(f(x^2-1)\)定義域為\([0 ,3]\)，求\(f(2x-1)\)的定義域.
【解析】\(∵0≤x≤3\)
\(∴-1≤x^2-1≤8\)
\(∴-1≤2x-1≤8\)
\(\therefore 0 \leq x \leq \dfrac{9}{2}\)
故函數\(f(2x-1)\)的定義域是\(\left[0, \dfrac{9}{2}\right]\).
【點撥】抽象函數的定義域理解起來不容易，由於函數的解析式與字母的選擇無關，若把題目換成“已知\(f(x^2-1)\)定義域為\([0 ,3]\)，求\(f(2t-1)\)的定義域.”好理解多了，
① 謹記定義域指的是自變量的取值范圍，所以由“\(f(x^2-1)\)定義域為\([0 ,3]\)”得到的是“\(0≤x≤3\)”，“求\(f(2t-1)\)的定義域”指的就是求\(t\)的范圍.
② 把“\(x^2-1\)”和“\(2t-1\)”都看成整體，它們的范圍是相等的,這樣就有“\(-1≤x^2-1≤8\)\(⇒-1≤2t-1≤8\)”.
【題型三】求函數的值域
方法1 配方法
【典題1】求函數\(y=\dfrac{5 x^{2}-4 x+1}{x^{2}}\)在區間\(x \in\left[\dfrac{1}{4}, 1\right]\)的值域.
【解析】\(y=\dfrac{5 x^{2}-4 x+1}{x^{2}}\)\(=\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{4}{x}+5=\left(\dfrac{1}{x}-2\right)^{2}+1\)
\(\because x \in\left[\dfrac{1}{4}, 1\right]\)
\(\therefore \dfrac{1}{x} \in[1,4]\)，\(\therefore 1 \leq\left(\dfrac{1}{x}-2\right)^{2}+1 \leq 5,\)
即\(y=\dfrac{5 x^{2}-4 x+1}{x^{2}}\)在區間\(x \in\left[\dfrac{1}{4}, 1\right]\)的值域\([1 ,5]\).
【點撥】配方法針對二次函數型的函數值域.
方法2 數形結合
【典題2】求函數\(f(x)=\left\{\begin{array}{c} 2 x-x^{2},(0 \leq x \leq 3) \\ x^{2}+6 x,(-2 \leq x \leq 0) \end{array}\right.\)的值域.
【解析】\({\color{Red}{(這是分段函數，兩段函數均為二次函數，其圖像易得，故可用數形結合求值域)}}\)
\(f(x)=2 x-x^2=-(x-1)^2+1\)，開口向下，最大值為\(f(1)=1\),
而\(f(0)=0\),\(f(3)=-3\),
\(f(x)=x^2+6 x=(x+3)^2-9\), 開口向上，而\(f(-2)=-8\),\(f(0)=0\)，
可得到函數圖像如圖，
易得函數值域為\([-8 ,1]\).
【點撥】數形結合最大的好處是直觀.
方法3 換元法
【典題3】求函數\(f(x)=2 x+\sqrt{1-x}\)的值域.
【解析】令\(t=\sqrt{1-x} \quad(t \geq 0)\)，
\({\color{Red}{(要注意新變量t的取值范圍)}}\)
得\(x=-t^2+1\)，
\(∴\)原函數化為\(y=-2 t^{2}+t+2\)\(=-2\left(t-\dfrac{1}{4}\right)^{2}+\dfrac{17}{8} \leq \dfrac{17}{8}\)
\({\color{Red}{ (把函數轉化為二次函數值域問題)}}\)
\(∴\)函數\(y=f(x)\)的值域為\(\left(-\infty, \dfrac{17}{8}\right]\).
【點撥】本題利用換元法把不熟悉函數值域問題轉化為熟悉的二次函數值域問題，即求函數\(f(x)=2 x+\sqrt{1-x}\)的值域\(⇔y=-2t^2+t+2 (t≥0)\)的值域，其中特別注意\(t≥0\)不能忽略！這正是體現了數學中的“等價轉化”思想.
【典題4】函數\(f(x)=-9^{-x}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-1}+\dfrac{3}{4}\)在\([-1 ,+∞)\)上的值域為\(\underline{\quad \quad }\)．
【解析】\(f(x)=-9^{-x}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-1}+\dfrac{3}{4}\)\(=-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2 x}+3 \times\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}+\dfrac{3}{4}\)，
\({\color{Red}{(本題主要是注意到了9^{-x}和\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-1}均可\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}或3^x的形式，故想到換元法) }}\)
令\(t=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}\)，
因為\(x∈[-1 ,+∞)\)，所以\(t∈(0 ,3]\)，
原函數的值域等價於函數\(g(t)=-t^{2}+3 t+\dfrac{3}{4}=-\left(t-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+3\)\((0<t \leq 3)\)的值域，
由二次函數的性質可知\(f(x)=\left[\dfrac{3}{4}, 3\right]\)，
即所求函數的值域為\(\left[\dfrac{3}{4}, 3\right]\)．
【點撥】
① 換元法的本質就是“整體思想”，它能把“不太友善的”表示形式轉化為“友善的”，前2題均用換元法把復雜形式函數轉化為二次函數，故解題過程中特別要注意式子的結構特征.
② 換元法要注意換元后變量的取值范圍，比如典題3的“\(t≥0\)”， 典題4中的“\(t∈(0 ,3]\)".
方法4 函數單調性法
【典題5】函數\(f(x)=2^{x^{2}-2 x+3}\),\(x∈[0 ,3]\)的值域為\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】由復合函數的單調性可知，
函數\(f(x)\)在\([0 ,1]\)上單減，在\([1 ,3]\)上單增，
又\(f(0)=2^3=8\),\(f(1)=2^2=4\),\(f(3)=2^6=64\)，
\(∴\)函數值域為\([4 ,64]\)．
【點撥】
① 利用函數單調性是求函數值域最常見的方法，高二還會學到導數，它是一把利器.
② 復合函數的單調性是"同增異減".
方法5 分離常數法
【典題6】求函數\(f(x)=\dfrac{2 x^{2}-1}{x^{2}+1}\)的值域.
【解析】函數\(f(x)=\dfrac{2 x^{2}-1}{x^{2}+1}=\dfrac{2\left(x^{2}+1\right)-3}{x^{2}+1}\)\(=\dfrac{2\left(x^{2}+1\right)}{x^{2}+1}-\dfrac{3}{x^{2}+1}=2-\dfrac{3}{x^{2}+1}\)，
\({\color{Red}{ (在分子2x^2-1中“湊出”分母x^2+1，最終達到“分式中的分子是個常數3”的目的)}}\)
\(∵x^2+1≥1\),
\(\therefore 0<\dfrac{1}{x^{2}+1} \leq 1\)\(\Rightarrow-3 \leq-\dfrac{3}{x^{2}+1}<0\)\(\Rightarrow-1 \leq 2-\dfrac{3}{x^{2}+1}<2\)，
故函數\(f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\)的值域是\([-1 ,2)\).
【點撥】形如\(f(x)=\dfrac{a \cdot g(x)+b}{c \cdot g(x)+d}\)均可用分離常數法求函數值域，比如求函數\(y=\dfrac{3 x+1}{4 x-2}\),\(y=\dfrac{3 \cdot 2^{x}+4}{2^{x}-1}\)的值域.
方法6 基本不等式法(對勾函數法)
【典題7】求函數\(f(x)=\dfrac{x^{2}+4 x+1}{x^{2}+1}(x \geq 0)\)的值域.
【解析】\(\because f(x)=\dfrac{x^{2}+4 x+1}{x^{2}+1}\)\(=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}+1}+\dfrac{4 x}{x^{2}+1}=1+\dfrac{4 x}{x^{2}+1}\)，
\({\color{Red}{(也有點分離常數法的感覺) }}\)
\(∴\)①當\(x=0\)時，\(f(x)=1\)；\({\color{Red}{(x=0這個不能漏)}}\)
②當\(x>0\)時，
\(0<\dfrac{4 x}{x^{2}+1}=\dfrac{4}{x+\dfrac{1}{x}}\)\(\leq \dfrac{4}{2 \sqrt{x \cdot \dfrac{1}{x}}}=2\)，
當且僅當\(x=1\)時“=”成立,此時\(1<f(x)≤3\)
\({\color{Red}{ (利用對勾函數y=x+\dfrac{1}{x}(x>0)的圖像求解也可以)}}\)
\(∴\)函數\(y=f(x)\)的值域為\([1,3]\)．
【點撥】利用基本不等式法(對勾函數法)能處理二次分式函數\(y=\dfrac{d x^{2}+e x+f}{a x^{2}+b x+c}\)的值域.
鞏固練習
1(★)函數\(y=f(x-1)\)與函數\(y=f(x+1)\)( )
A．是同一個函數 \(\qquad \qquad\)B．定義域相同 \(\qquad \qquad\)C．圖象重合 \(\qquad \qquad\)D．值域相同
2(★)函數\(f(x)=\sqrt{-x^{2}+4 x+12}+\dfrac{1}{x-4}\)的定義域為\(\underline{\quad \quad }\) .
3(★★)已知函數\(f(x+1)\)定義域為\([1 ,4]\)，則函數\(f(x-1)\)的定義域為\(\underline{\quad \quad }\).
4(★★)函數\(y=2-\sqrt{-x^{2}+4 x}\)的值域是為\(\underline{\quad \quad }\).
5(★★)函數\(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1 }\)\((x \geq 1)\)的值域為\(\underline{\quad \quad }\).
6(★★)函數\(f(x)=\dfrac{x-1}{x+3}(x \geq 1)\)的值域為\(\underline{\quad \quad }\).
7(★★)函數\(y=4^{x}+2^{x+1}+3\)的值域為\(\underline{\quad \quad }\).
8(★★★)求函數\(y=\dfrac{2 x^{2}-x+1}{2 x-1}\)\(\left(x>\dfrac{1}{2}\right)\)的值域.
參考答案
1.\(D\)
2.\([-2,4)∪(4,6]\)
3.\([3 ,6]\)
4.\([0，2]\)
5.\([\sqrt{2},+\infty]\)
6.\([0，1)\)
7.\((3 ,+∞)\)
8.\(\left[\dfrac{1}{2}+\sqrt{2},+\infty\right)\)
【題型四】分段函數
【典題1】設函數\(f(x)= \begin{cases}x^{2}+2 & (x \leq 2) \\ 2 x & (x>2)\end{cases}\)，若\(f(x_0)=8\)，則\(x_0=\)\(\underline{\quad \quad }\)．
【解析】由題意，得
①當\(x_0≤2\)時，有\(x_0^2+2=8\)，解之得\(x_{0}=\pm \sqrt{6}\)，
而\(\sqrt{6}>2\)不符合，所以\(x_{0}=-\sqrt{6}\)；
②當\(x_0>2\)時，有\(2x_0=8\)，解之得\(x_0=4\)．
綜上所述，得\(x_0=4\)或\(-\sqrt{6}\)．
【典題２】 已知函數\(f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}-6 x+6, x \geq 0 \\ 3 x+4, x<0 \end{array}\right.\)，若互不相等的實數\(x_1\),\(x_2\),\(x_3\)滿足\(f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)\)，則\(x_1+x_2+x_3\)的取值范圍為\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】 \({\color{Red}{ 乍眼一看，不太理解題意，設f(x_1 )=t，本題就函數y=t與y=f(x)交點橫坐標的問題，自然想到數形結合)}}\)
函數\(f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}-6 x+6, x \geq 0 \\ 3 x+4, x<0 \end{array}\right.\)的圖象如圖，
不妨設\(x_1<x_2<x_3\)，
則\(x_2\),\(x_3\)關於直線\(x=3\)對稱，故\(x_2+x_3=6\)，
且\(x_1\)滿足\(-\dfrac{7}{3}<x_{1}<0\)；
則\(x_1+x_2+x_3\)的取值范圍是\(-\dfrac{7}{3}+6<x_{1}+x_{2}+x_{3}<0+6\)；
即\(x_{1}+x_{2}+x_{3} \in\left(\dfrac{11}{3}, 6\right)\)．
【點撥】分段函數本質上是“分類討論”，特別要注意“每段函數”的定義域.處理分段函數的性質問題(值域、交點等)常常用數形結合的方法.
【題型五】求函數解析式
方法1 配湊法
【典題1】已知\(f\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}(x>0)\), 求\(f(x)\)的解析式.
【解析】\(∵x>0\)\(\therefore x+\dfrac{1}{x} \geq 2\)
\(\because f\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}-2\),
\(∴ f(x)=x^2-2 (x≥2)\)(注意函數的定義域)
【點撥】本題主要是觀察到\(x+\dfrac{1}{x}\)與\(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\)之間存在“完成平方”的關系.
方法2 待定系數法
【典題２】已知函數\(f(x)\)是二次函數，若\(f(0)=0\),且\(f(x+1)=f(x)+x+1\)，求\(f(x)\)的解析式．
【解析】依題意可設\(f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)\)，
若\(f(0)=0\)，且\(f(x+1)=f(x)+x+1\)，
\(∴c=0\)且\(a(x+1)^2+b(x+1)+c=ax^2+bx+c+x+1\)
即\(c=0\)且\((2a+b)x+a+b+c=(b+1)x+c+1\)，
\(\therefore\left\{\begin{array}{c} c=0 \\ 2 a+b=b+1 \\ a+b+c=c+1 \end{array}\right.\)，
解得\(a=\dfrac{1}{2}\)，\(b=\dfrac{1}{2}\)，\(c=0\)．
\(\therefore f(x)=\dfrac{x^{2}+x}{2}\)
【點撥】當函數的類型已知，利用待定系數法可求函數解析式.
方法3 換元法
【典題３】已知\(f(\sqrt{x}+1)=x+2 \sqrt{x}\), 求\(f(x+1)\).
【解析】令\(t=\sqrt{x}+1\)，則\(t≥1\),\(x=(t-1)^2\)，
\(\because f(\sqrt{x}+1)=x+2 \sqrt{x}\)
\(∴ f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-1\)
\(∴ f(x)=x^2-1 (x≥1)\)
\(∴ f(x+1)=(x+1)^2-1=x^2+2x (x≥0)\).
【點撥】
① 用換元法時注意新變量的取值范圍.
② 用配湊法\(f(\sqrt{x}+1)=x+2 \sqrt{x}\)\(=(\sqrt{x}+1)^{2}-1\)\(\Rightarrow f(x)=x^{2}-1(x \geq 1)\)，但要求觀察力足夠好.
方法4 構造方程組法
【典題４】設\(f(x)\)滿足\(f(x)-2 f\left(\dfrac{1}{x}\right)=x\), 求\(f(x)\)的解析式.
【解析】 \(\because f(x)-2 f\left(\dfrac{1}{x}\right)=x\)①
顯然\(x≠ 0\)，將\(x\)換成\(\dfrac{1}{x}\)，
得\(f\left(\dfrac{1}{x}\right)-2 f(x)=\dfrac{1}{x}\)②
解①②聯立的方程組，得\(f(x)=-\dfrac{x}{3}-\dfrac{2}{3 x}\).
方法5 代入法
【典題５】與函數\(y=x^2-3x+2\)的圖象關於點\((0,1)\)對稱的函數是\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】 設\(P(x ,y)\)為所求函數圖象上的任意一點，
它關於點\((0,1)\)對稱的點是\(Q(-x ,2－y)\)．
由題意知點\(Q(-x ,2－y)\)在函數\(y=x^2-3x+2\)的圖象上，
則\(2-y=x^2+3x+2\)，
化簡得\(y=-x^2-3x\)．
【點撥】
① 由下圖可對本題有個更清晰的理解.
② 求與一已知函數關於點對稱或軸對稱的函數解析式均可以用“代入法”.若把本題的函數\(y=x^2-3x+2\)換成\(y=2^x\)或者把“關於點\((0,1)\)對稱”換成“關於\(y=-1\)對稱”，其解題過程大同小異.
鞏固練習
1(★)已知函數\(y=\left\{\begin{array}{l} x^{2}+1(x \leq 0) \\ 2 x(x>0) \end{array}\right.\)，若\(f(a)=10\)，則\(a\)的值是\(\underline{\quad \quad }\)．
2(★★)已知函數\(f(x)=\left\{\begin{array}{l} (2 a-1) x+7 a-2(x<1) \\ a^{x}(x \geq 1) \end{array}\right.\)在\((-∞ ,+∞)\)上單調遞減，則實數\(a\)的取值范圍為\(\underline{\quad \quad }\)．
3(★★)已知一次函數\(f(x)\)滿足條件\(f(x+1)+f(x)=2x\)，求函數\(f(x)\)的解析式．
4(★★)已知\(f(\sqrt{x})=x^{2}-2 x\)，求函數\(f(x)\)的解析式．
5(★★★)已知\(f(0)=1\)，對於任意實數\(x\),\(y\)，等式\(f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)\)，求\(f(x)\)的解析式.
參考答案
1.\(-3\)或\(5\)
2.\(\left[\dfrac{3}{8}, \dfrac{1}{2}\right)\)
3.\(f(x)=x-\dfrac{1}{2}\)
4.\(f(x)=x^4-2x^2 (x≥0)\)
5.\(f(x)=x^2+x+1\)