DAG圖和拓撲排序（Topological sorting）
一個無環的有向圖稱為有向無環圖（DAG）。圖的頂點可以表示要執行的任務，並且邊可以表示一個任務必須在另一個之前執行的約束; 在這個應用程序中，拓撲排序只是任務的有效序列。 當且僅當圖形沒有有向循環時，即如果它是有向無環圖（DAG），則可以進行拓撲排序。 任何DAG都具有至少一個拓撲排序。
在計算機科學領域，有向圖的拓撲排序或拓撲排序是其頂點的線性排序。在圖中假設從頂點 i 到頂點 j 中有一條有向路徑 i -> j。那么我們稱 i 為 j 的前驅，稱 j 為 i 的后繼。
定義：
對於一個DAG（有向無環圖）𝐺，將 𝐺 中所有頂點排序為一個線性序列，使得圖中任意一對頂點 𝑢 和 𝑣，若 𝑢 和 𝑣 之間存在一條從 𝑢 指向 𝑣 的邊，那么 𝑢 在線性序列中一定在 𝑣 前。
注意：DAG的拓撲序可能並不唯一。只要滿足對於（u->v），在線性序列中，u在v前面即可
用途：
- 判環
- 判鏈
- 處理依賴性任務規划問題
- 用在項目管理、 數據庫查詢優化和矩陣乘法的次序優化上。
Kahn算法
拓撲排序的算法非常簡單，常用的方式為Kahn’s algorithm算法，Kahn算法有時候也叫做toposort的bfs版本。基本步驟為：
- 將入度為 0 的點組成一個集合 𝑆
- 從 𝑆 中取出一個頂點 𝑢，插入拓撲序列。
- 遍歷頂點 𝑢 的所有出邊，並全部刪除，如果刪除這條邊后對方的點入度為 0，也就是沒刪前，𝑢→𝑣 這條邊已經是 𝑣 的最后一條入邊，那么就把 𝑣 插入 𝑆。
- 重復執行上兩個操作，直到 𝑆=∅。此時檢查拓撲序列是否正好有 𝑛 個節點，不多不少。如果拓撲序列中的節點數比 𝑛 少，說明 𝐺 非DAG，無拓撲序，返回false。如果拓撲序列中恰好有 𝑛 個節點，說明 𝐺 是DAG，返回拓撲序列。
也就是說，Kahn算法的核心就是維護一個入度為0的頂點。
代碼如下：
1 def topoSort(graph, ind): 2 topo = [] 3 queue = [] 4 5 for i in range(len(ind)): 6 if ind[i] == 0: 7 queue.append(i) 8 9 while queue: 10 node = queue.pop(0) 11 topo.append(node) 12 for i in range(len(graph[node])): 13 v = graph[node][i] 14 ind[v] -= 1 15 if ind[v] == 0: 16 queue.append(v) 17 18 if len(topo) == len(ind): 19 print(topo) 20 return True 21 return False 22 23 24 if __name__ == '__main__': 25 data = [ 26 [0, 1], 27 [0, 2], 28 [1, 2], 29 [1, 3], 30 [2, 3], 31 [2, 5], 32 [3, 4], 33 [7, 6], 34 ] 35 n = 8 36 ind = [0 for _ in range(n)] 37 graph = [[] for _ in range(n)] 38 for u, v in data: 39 graph[u].append(v) 40 ind[v] += 1 41 42 topoSort(graph, ind)
利用DFS實現拓撲排序
當一個有向圖無環的時候，我們可以利用DFS算法來實現拓撲排序。原理很簡單，由於圖中沒有環，那么由圖中某點出發的時候，最先退出DFS的頂點一定是出度為0的頂點，也就是拓撲排序中最后的一個頂點（逆向思維）。因此按DFS退出的先后記錄下的頂點序列就是逆向的拓撲排序的序列。
從任意一個未被訪問的結點出發做深搜后序遍歷。遍歷所有結點，回溯前記錄結點，最后路徑再倒序一下就是正確的拓撲排序(或者建圖的時候就把邊的方向倒了，最后得到的排序不用倒)。如果有多個子圖，要多次深搜，直到所有結點都被訪問完（所有子圖都搜完）得到多個子序列，再拼接一起就是答案。
代碼如下：
1 def dfs(node, graph, vis, order): 2 vis[node] = True 3 for n in graph[node]: 4 if not vis[n]: 5 dfs(n, graph, vis, order) 6 order.append(node) 7 8 9 def topoDfsSort(graph): 10 order = [] 11 vis = [False for _ in range(n)] 12 for i in range(n): 13 if not vis[i]: 14 dfs(i, graph, vis, order) 15 print(order[::-1]) 16 17 18 if __name__ == '__main__': 19 data = [ 20 [0, 1], 21 [0, 2], 22 [1, 2], 23 [1, 3], 24 [2, 3], 25 [2, 5], 26 [3, 4], 27 [7, 6], 28 ] 29 n = 8 30 ind = [0 for _ in range(n)] 31 graph = [[] for _ in range(n)] 32 for u, v in data: 33 graph[u].append(v) 34 ind[v] += 1 35 36 topoDfsSort(graph)
對於DFS方法有人可能疑惑為什么要回溯前才記錄（要用后序遍歷的原因），而且為什么可以從任一點開始？
- 能回溯的點說明已經把子代遍歷完，確定是最后的了，於是可以記錄下來，得到一個倒序記錄。拓撲排序的一個節點可能有多個父結點，所以無法確定某點為先。如下圖，如果我已遍歷得0–>2順序，但是在2之前還有一個點1，明顯不對，先序遍歷行不通。這是由結構所決定的，不同於樹，拓撲排序分支節點之間可能有聯系的，導致一個節點可能有多個父結點，故沒有嚴格的先后順序。而從后往前記錄，因為節點遍歷完分支，故不怕節點再指向任何節點也就不可能指回前面節點，后序遍歷可行。如果要對一個二叉樹做拓撲排序，代碼與此大同小異，二叉樹只有兩個子結點，無需for循環而已。
- 從任意點開始遍歷都行，是因為后序遍歷保證了已記錄的就是最靠后的了。后面記錄的結點肯定不會后於已記錄的結點。比如先從3開始搜，3->4(記錄下4->3)，然后無論從哪個結點再開始搜，都不會打亂順序了，012都是先於3（可能的記錄下為4->3->5->2->1->0->6->7），567放3前面也沒事（可能的記錄為4->3->6->7->5->2->1->0）。
拓撲排序實現的時間復雜度
Kahn算法和dfs算法的時間復雜度都為 O(𝐸+𝑉)。
另外，如果要求字典序最小或最大的拓撲序，只需要將Kahn算法中的q隊列替換為優先隊列即可，總時間復雜度為 O(𝐸+𝑉log𝑉)。