漢明碼、海明校驗碼(Hamming Code)

目錄

• 基礎知識
• 漢明碼/海明校驗碼
  • 計算

基礎知識

1. 碼距：又叫海明距離，是在信息編碼中，兩個編碼之間對應位上編碼不同的位數。例如編碼100110和010101，第1、2、5、6位都不相同，所以這兩個編碼的碼距就是4，並且可以通過異或的方式求出（異或后計算零的個數）

2. 奇偶校驗(Parity Check)：一種校驗代碼傳輸正確性的方法，分為奇校驗和偶校驗兩種方式，目的都是在一字節（8位二進制數）后面加上一個校驗位（0或1），奇校驗下前面8位和校驗碼的1的個數應為奇數個，偶校驗為偶數個。公式表示為：

   \[奇校驗：G=\overline{C\oplus X_1\oplus X_2\oplus X_3\oplus ... \oplus X_n}\\ 偶校驗：G=C\oplus X_1\oplus X_2\oplus X_3\oplus ... \oplus X_n\\ G等於0表示數據正常，否則表示出錯 \]

   在實際中奇偶校驗的選擇是事先選擇的。

   奇偶校驗的特點

   1. 編碼檢錯簡單
   2. 編碼效率高
   3. 不能檢測偶數位錯誤，無錯結論不可靠，是一種錯誤檢測碼
   4. 也沒法識別錯誤，更不能糾正錯誤，出錯只能重新傳

漢明碼/海明校驗碼

海明碼的構成方法是在數據位之間的確定位置上插入k個校驗位，通過擴大碼距來實現檢錯和糾錯。

漢明碼跟其它的錯誤校驗碼類似，也利用了奇偶校驗位的概念。不過與奇偶校驗碼不同的是，它並不是指定長度字節后面加一位，而是通過計算關系：

\[2^k-1\ge n+k(在指定n的情況下，找到滿足式子的最小的k) \]

計算出指定數據位對應的校驗位長度。其中n為數據位，k為校驗位長度。

計算

設數據位是8位，那么通過式子\(2^4-1=15>8+4=12\)，則校驗位為4位

設信息位為：D7,D6,D5,D4,D3,D2,D1,D0，校驗位P3,P2,P1,P0，先計算校驗位在總共12位的海明碼中占據的位數：

• \(P0=2^0=1\)
• \(P1=2^1=2\)
• \(P2=2^2=4\)
• \(P3=2^3=8\)

所以校驗位P3,P2,P1,P0分別占據第8、4、2、1位，而信息碼從左到右占據剩下的位數，如表：

位數	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
信息位	D7	D6	D5	D4		D3	D2	D1		D0
校驗位					P3				P2		P1	P0

注：這個表很多資料中其實是左右倒過來的，如果是倒過來的話就不用最后在倒置了

而信息位與校驗位的關系為：信息位的位數=位數相加等於信息位位數的校驗位組。例如D7的位數為12，所以D7的校驗位組為P3和P2。

信息位	信息位檢驗計算	校驗位組
D7	12=8+4	P3,P2
D6	11=8+2+1	P3,P1,P0
D5	10=8+2	P3,P1
D4	9=8+1	P3,P0
D3	7=4+2+1	P2,P1,P0
D2	6=4+2	P2,P1
D1	5=4+1	P2,P0
D0	3=2+1	P1,P0

所以，P0參與了D0,D1,D3,D4,D6的檢驗，其他由此類推：

\(P0=D0\oplus D1\oplus D3\oplus D4\oplus D6\)
\(P1=D0\oplus D2\oplus D3\oplus D5\oplus D6\)
\(P2=D1\oplus D2\oplus D3\oplus D7\)
\(P3=D4\oplus D5\oplus D6\oplus D7\)

注意：海明碼是由高位到低位進行排序（高位先放，低位后方），所以得到的海明碼是：P0 P1 D0 P2 D1 D2 D3 P3 D4 D5 D6 D7

而校驗的方式則是算出信息的校驗碼，然后與得到的校驗碼對應，相同標0，不同標1（讓01串異或成原來的樣子），得到錯誤的位置為\(P3^*P2^*P1^*P0^*\)（\(Pn^*\)是標記）

python代碼實現校驗（這代碼摸了快三天，代碼水平還是得提高）

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Fri Dec  3 21:59:38 2021
海明碼解碼糾錯(默認只有一個錯誤)
@author: 01am
"""
#返回將列表里面的元素全部異或的值
def xor1(lista):
    j=lista[0]
    for i in range(1,len(lista)):
        j=j^lista[i]
    return j

a = input("請輸入海明碼:")
len_a = len(a)
k=0

#確定k的值
for i in range(1,len_a):
    tmp = pow(2,i)
    if tmp > len_a :
        k=i
        break

#循環創建校驗位變量和校驗位對應的數據位列表
for i in range(k):
    exec('P'+str(i)+'='+str(a[pow(2,i)-1]))
    exec('D'+str(i)+'=[]')

#循環創建數據位變量並確定是否與校驗位有關
for i in range(len_a):
    #如果按照位數的二進制情況下查找1只有1個的情況下，那么一定是校驗位
    if bin(i+1).count('1')==1:#加一是為了解決range從0開始而海明碼從1開始的矛盾
        continue
    else:
        tmp1=bin(i+1)[-1:1:-1]#將二進制數翻轉並且去掉0b，方便后面循環尋找相關的校驗位
        for j in range(len(tmp1)):
            if tmp1[j]=='1' :#這里無需加一，因為校驗位是從0開始的
                exec('D'+str(j)+'.append('+str(a[i])+')')

#新計算的糾錯位和原校驗位對比后的標志不准確
#判斷校驗位和計算出來的校驗位是否一致
K=''
for i in range(k):
    exec('tmp2 = D'+str(i))  #這里的問題，不能寫成tmp2 = exec('D'+str(i))，這樣會讓tmp2成為NoneType
    exec('tmp3 = P'+str(i))
    tmp4 = xor1(tmp2)  #這里可能會提示有變量未定義，不用理
    if tmp4 == tmp3 :  #這里可能會提示有變量未定義，不用理
        K+='0'
    else:
        K+='1'
tmp5 = K[::-1]#校驗位的位置，如果全為零就不存在

#判斷校驗碼是否存在，存在就把對應的位置修改
a=list(a)
if tmp5.find('1')!=-1:
    int1 = int(tmp5,2)-1
    a[int1]=str(int(a[int1])^1)
    print("已經自動糾錯一位\n")

#輸出不帶校驗碼的字符串
b=''
c=[pow(2,i) for i in range(k)]
for i in range(len_a):
    if i+1 not in c:
        b+=a[i]
a=''.join(a)
print(a)
print(b)

參考：

1. 海明碼的計算步驟
2. 百度百科-奇偶校驗
3. 百度百科-海明校驗碼