今天想不明白方差為什么>=0了, 因為我看Jensen不等式是這么說的(看的是英文版本):
如果是convex, 那么E(g(X))>=g(E(X)).
以前查過字典, 知道concave是凹, convex是凸.
我想, 誒不對, g(x)=x^2是凹函數, 它二階導=2>0.
那么豈不是Jensen不等式的反面, 也就是E(g(X))<=g(E(X))
也就是E(X2)<=E(X)2. 那么不就有方差<=0么?
糾結了快半小時(傻子才糾結快半小時). 發現竟然是這樣的:
原來國內教材的凹凸性定義與其它地區的做法相反. 如果用國內的定義, Jensen不等式是:
如果是凹函數, 那么E(g(X))>=g(E(X)).
我看國外的微積分教材, 是這么說的, convex為concave up, 也就是開口向上的concave function. 正是我們認為的凹函數.