今天想不明白方差为什么>=0了, 因为我看Jensen不等式是这么说的(看的是英文版本):
如果是convex, 那么E(g(X))>=g(E(X)).
以前查过字典, 知道concave是凹, convex是凸.
我想, 诶不对, g(x)=x^2是凹函数, 它二阶导=2>0.
那么岂不是Jensen不等式的反面, 也就是E(g(X))<=g(E(X))
也就是E(X2)<=E(X)2. 那么不就有方差<=0么?
纠结了快半小时(傻子才纠结快半小时). 发现竟然是这样的:
原来国内教材的凹凸性定义与其它地区的做法相反. 如果用国内的定义, Jensen不等式是:
如果是凹函数, 那么E(g(X))>=g(E(X)).
我看国外的微积分教材, 是这么说的, convex为concave up, 也就是开口向上的concave function. 正是我们认为的凹函数.