勒讓德多項式
1、勒讓德方程及多項式
m階n次連帶勒讓德方程：
\[\left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 x \frac{d y}{d x}+\left[n(n+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right] y=0\quad m,n是非負整數，m\leq n \]
m階n次第一類連帶勒讓德函數（上述方程的解）：
\[P_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{m}{2}} \frac{d^{m}}{d x^{m}} P_{n}(x) \]
n次勒讓德方程：
\[\left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 x \frac{d y}{d x}+\left[n(n+1)\right]y=0\quad m,n是非負整數，m\leq n \]
n次勒讓德函數包括兩個基本解：
\[通解：y(x)=AP_n(x)+BQ_(x)\\\\ P_n(x)-n次第一類勒讓德函數（多項式解）\\\\ Q_n(x)-n次第二類勒讓德函數（無窮級數解） \]
n次勒讓德多項式：
n=0和正整數時，多項式解\(P_n(x)\)稱為n次勒讓德多項式
\[P_{n}(x)=\sum_{m=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]}(-1)^{m} \frac{(2 n-2 m) !}{2^{n} m !(n-m) !(n-2 m) !} x^{n-2 m} \]
\[\begin{array}{l} p_{0}(x)=1, \quad p_{1}(x)=x,\quad p_{2}(x)=\frac{1}{2}\left(3 x^{2}-1\right) \\\\ p_{3}(x)=\frac{1}{2}\left(5 x^{3}-3 x\right),\quad p_{4}(x)=\frac{1}{8}\left(35 x^{4}-30 x^{2}+3\right) \end{array} \]
n次勒讓德多項式\(P_n(x)\)的零點：\(P_n(x)\)=0的x值
零點性質：\(P_n(x)\)有n個不同的實零點；都在[-1,1]內；\(P_n(x)\)和\(P_n(-x)\)的零點互相穿插
\[Q_{n}(x)=P_{n}(x) \int_{x}^{\infty} \frac{d x}{\left(x^{2}-1\right)\left[p_{n}(x)\right]^{2}}=\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{P_{n}(t)}{x-t} d t \]
2、勒讓德多項式的母函數
勒讓德多項式的母函數：
\[G(x, z)=\frac{1}{\sqrt{1-2 x z+z^{2}}}=\sum_{n=0}^{\infty} P_{n}(x) z^{n} \]
勒讓德多項式的遞推公式：
\[\begin{array}{l} (2 n+1) x P_{n}(x)-n P_{n-1}(x)=(n+1) P_{n+1}(x) \\ \\ n P_{n}(x)=x P_{n}^{\prime}(x)-P_{n-1}^{\prime}(x) \\\\ (n+1) P_{n}(x)+x P_{n}^{\prime}(x)=P_{n+1}^{\prime}(x) \end{array} \]
例題：利用母函數證明\((2 n+1) P_{n}(x)=P_{n+1}^{\prime}(x)-P_{n-1}^{\prime}(x)\)
解：
\[\begin{array}{l} G(x, z)=\frac{1}{\sqrt{1-2 x z+z^{2}}}=\sum_{n=0}^{\infty} P_{n}(x) z^{n}\quad (兩邊對x求導）\\\\ -\frac{1}{2} \frac{-2 z}{\left(1-2 x z+z^{2}\right)^{3 / 2}}=\sum_{n=1}^{\infty} P_{n}(x) z^{n}\\ \\ \frac{z}{\left(1-2 x z+z^{2}\right)^{1 / 2}}=\left(1-2 x z+z^{2}\right) \sum_{n=1}^{\infty} P_{n}^{\prime}(x) z^{n}\\\\ z \sum_{n=0}^{\infty} P_{n}(x) z^{n}=\left(1-2 x z+z^{2}\right) \sum_{n=1}^{\infty} P_{n}^{\prime}(x) z^{n}\\\\ 比較Z^{n+1}的系數得:\\\\P_{n}(x)=P_{n+1}^{\prime}(x)-2 x P_{n}^{\prime}(x)+P_{n-1}^{\prime}(x) \end{array} \]
3、勒讓德多項式的性質
連帶勒讓德函數的性質：
1、\(P_n^m(x)\)的微分表達式：
\[P_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{m}{2}} P_{n}^{(m)}(x)=(-1)^{m} \frac{\left(1-x^{2}\right)^{m / 2}}{2^{n} n !} \frac{d^{n+m}}{d x^{n+m}}\left(x^{2}-1\right)^{n} \]
2、\(P_n^m(x)\)的正交歸一性
\[\begin{array}{l} \int_{-1}^{1} P_{k}^{m}(x) P_{n}^{m}(x) d x=\left(N_{n}^{m}\right)^{2} \delta_{k n}=\frac{(n+m) !}{(n-m) !} \frac{2}{2 n+1} \delta_{k n}, \quad k, n=0,1,2 \cdots \\ \\ N_{n}^{m}=\sqrt{\frac{2}{2 n+1} \frac{(n+m) !}{(n-m) ! }}\quad N_{n}^{m} 是P_n^m(x)的模 \end{array} \]
3、
\[P_{n}^{-m}(x)=(-1)^{m} \frac{(n-m) !}{(n+m) !} P_{n}^{m}(x) \]
4、拉普拉斯方程在球形區域的Dirichlet問題
例題：在球r=a的內部求解\(\Delta u=0 \text {, }\)使其滿足邊界條件\(u \mid _{r=a}=\cos ^{2} \theta\)
解：列方程組如下：
\[\left\{\begin{array}{l} \Delta u=0\quad (r<a) \\ u \mid _{r=a}=\cos ^{2} \theta \\ u \mid _{r=0}=\text {有限值 } \end{array}\right. \]
邊界條件與\(\varphi\)無關，所以其解也應與\(\varphi\)無關（即m=0)
因為$u \mid _{r=0}=\text {有限值 } $,
\(u(r, \theta)=\sum_{n=0}^{\infty} A_{n} r^{n} P_{n}(\cos \theta)=\sum_{n=0}^{\infty} A_{n} r^{n} P_{n}(x)\)
因為\(U \mid _{r=a}=\sum_{n=0}^{\infty} A_{n} a^{n} P_{n}(x)=\cos ^{2} \theta=x^{2}\),
\(\sum_{n=0}^{\infty} A n a^{n} p_{n}(x)=A_{0} a^{0} p_{0}(x)+A_{1} a^{\prime} p_{1}(x)+A_{2} a^{2} p_{2}(x)=A_{0}+A_{1} a x+A_{2} a^{2} \frac{1}{2}\left(3 x^{2}-1\right)=x^{2}\)
故 \(\left\{\begin{array}{l} A_{0}-\frac{1}{2} A_{2} a^{2}=0 \\ A_{1} a=0 \\ \frac{3}{2} A_{2} a^{2}=1 \end{array}\right.\) 解得：\(\left\{\begin{array}{l} A_{0}=\frac{1}{3} \\ A_{1}=0 \\ A_{2}=\frac{2}{3} a^{-2} \end{array}\right.\)
由以上可得：\(\begin{aligned} u(r, \theta) &=\frac{1}{3}+\frac{2}{3} a^{-2} r^{2} P_{2}(x) =\frac{1}{3}+\frac{2}{3} a^{-2} r^{2} P_{2}(\cos \theta) \end{aligned}\)
整理人：劉蓓
審核：輔助線數學公益平台
