寫這題前，先把這道hdu6397經典題寫了 。
題意：給定n,m,k，要求個m個格子填數，使每個數在[0,n-1]范圍內，且他們的和為k。
思路：首先，不管[0,n-1]這個限制條件，考慮怎么用組合數算出方案。我是這樣理解的，我們對選出的數取個前綴和，那么這m個數的前綴和必然在[0,k]這個區間內，且滿足不遞減，和最后一個數必然是k，由於最后一個數已經定了，那么問題變成選m-1個數，使他們不遞減，且在[0,k]區間內，可以考慮插板法，對[1,k]的左邊右邊插板，插的每個板表示這個板要選擇當前空隙的左邊那個數，所以組合數就是C(k+m-1,m-1)；現在考慮[0,n-1]這個限制，顯然可以容斥，所以問題轉成怎么算至少有i個數超過n-1,且和為k的方案數，這又是一個經典組合數問題，我們可以把這個i個超過n-1的數都減去n，這樣所有數都在[0,n-1]范圍內，且和為k-ni，也可以理解為把和變為k-ni，然后把里面的i個數都加上n就符合條件了，所以方案是\(C(m,i) \times C(k+m-1-n*i,m-1)\);
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <time.h>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <fstream>
//#include <unordered_map>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int maxn = 1000000 + 100;
const int INF = 0x7fffffff;
const int mod = 998244353;
const ll mod1 = 998244353;
const ll base = 137;
const double Pi = acos(-1.0);
const int G = 3;
int q_pow(int a, int b)
{
int res = 1;
while (b)
{
if (b & 1)
{
res = 1ll * res * a % mod;
}
b >>= 1;
a = 1ll * a * a % mod;
}
return res;
}
int F[maxn], Finv[maxn], inv[maxn];
void init()
{
inv[1] = 1;
for (int i = 2; i < maxn; i++)
{
inv[i] = (mod - mod / i) * 1ll * inv[mod % i] % mod;
}
F[0] = Finv[0] = 1;
for (int i = 1; i < maxn; i++)
{
F[i] = F[i - 1] * 1ll * i % mod;
Finv[i] = Finv[i - 1] * 1ll * inv[i] % mod;
}
}
int comb(int n, int m)
{
if (m < 0 || m > n)
return 0;
return F[n] * 1ll * Finv[n - m] % mod * Finv[m] % mod;
}
int n,m,k;
int main()
{
init();
int t;
cin >> t;
while (t--)
{
scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
int f=1;
int ans=0;
for(int i=0;i<=m;i++)
{
int uu=1;
if(!f) uu=mod-1;
f^=1;
if(1ll*i*n>k+m-1) break;
ans=(1ll*ans+1ll*uu*comb(m,i)%mod*comb(k+m-1-i*n,m-1)%mod)%mod;
}
printf("%d\n",ans);
}
// system("pause");
}
然后回到M. 810975這道題。
題意：給定n,m,k，構造長度為n的01串，使1的總數為m，且每個連續的1段長度最大值是k。
思路：首先對於最大值為k的這個條件，可以用最多有k個減去最多有k-1個容斥掉。然后考慮怎么算最多有k的方案。我們可以把兩個連續的0中間看做一個長度為0的連續1段，那么問題轉換成，構造n-m+1個連續1段，長度在[0,k]，且和為m。這跟上面那題就一模一樣了，然后這題就解決了。
吐槽下，這周末的兩場區域賽居然都考了容斥，還都是典中典，隊友也沒寫過容斥，我還是得多學點容斥的套路...
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <time.h>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <fstream>
//#include <unordered_map>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int maxn = 1000000 + 100;
const int INF = 0x7fffffff;
const int mod = 998244353;
const ll mod1 = 998244353;
const ll base = 137;
const double Pi = acos(-1.0);
const int G = 3;
int q_pow(int a,int b)
{
int res=1;
while(b)
{
if(b&1)
{
res=1ll*res*a%mod;
}
b>>=1;
a=1ll*a*a%mod;
}
return res;
}
int F[maxn], Finv[maxn], inv[maxn];
void init(){
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < maxn; i ++){
inv[i] = (mod - mod / i) * 1ll * inv[mod% i] % mod;
}
F[0] = Finv[0] = 1;
for(int i = 1; i < maxn; i ++){
F[i] = F[i-1] * 1ll * i % mod;
Finv[i] = Finv[i-1] * 1ll * inv[i] % mod;
}
}
int comb(int n, int m){
if(m < 0 || m > n) return 0;
return F[n] * 1ll * Finv[n - m] % mod * Finv[m] % mod;
}
int cal(int num,int lim,int sum)
{
int f=1;
int res=0;
//cout<<num<<' '<<lim<<' '<<sum<<endl;
for(int i=0;i<=num;i++)
{
int uu=1;
if(!f) uu=mod-1;
if(1ll*lim*i>sum+num-1) break;
res=(1ll*res+1ll*uu*comb(num,i)%mod*comb(num+sum-1-i*lim,num-1)%mod)%mod;
f^=1;
// cout<<i<<' '<<res<<endl;
}
return res;
}
int n,m,k;
int main()
{
init();
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
printf("%d\n",(1ll*cal(n-m+1,k+1,m)-cal(n-m+1,k,m)+mod)%mod);
// system("pause");
}