閑談之共空間模式（Common Spatial Pattern，CSP）

如是我聞，姑妄聽之!

—— ——題記

前言

在基於傳統機器學習的運動想象分類算法中，CSP是是最常用的一種用來提取特征的算法，后來出現的SBCSP（Sub-bank CSP），FBCSP（Filter bank CSP）等都是在CSP的基礎上進行改進的算法，這里主要是整理一些我自己在學習CSP算法時的理解。

為什么使用CSP

下面是一張從BCI比賽的數據集介紹中粘過來的一張介紹腦電信號采集時電極分布的示意圖，從圖中可以看出，表面上每個電極采集到的分別是不同區域的EEG信號，但是由於腦電信號的空間傳播，每個電極實際采集到的信號是不同區域信號混疊之后的結果。而對腦電信號進行空間濾波則是希望找到電極與電極之間的關系，將電極中一些對分類有用的成分進行放大，而將一些公有的噪聲信息（比如散布多個電極中的一些偽影）進行消除。而CSP方法的本質就是利用不同運動現象任務在電極上的方差分布的差異來提取特征。

空間濾波器的選擇

我們使用\(X_i\in R^{(C\times S)},i=1,2,⋯,N\)來表示包含兩種運動想象任務 \(\{ C_+，C_- \}\)的N個腦電信號，其中\(C\)代表的采集腦電信號時電極的個數，\(S\) 代表任務的采樣點的個數。而CSP算法的目的是為了找到一個映射矩陣 \(W \in R^{(C×C)}\)將原始的腦電信號映射到一個代理空間中得到 \(X_{csp} =WX\)，其中映射矩陣\(W = (w_1^T,w_2^T,⋯,w_C^T)\)的每個行向量\(w_*^T\)都可以看作是一個空間濾波器。下面需要考慮的是怎么尋找到可以使腦電信號更易於區分的空間濾波器。

首先,CSP假設在代理空間中不同電極采集到的腦電信號是互不相關的，即每個腦電信號的空間協方差矩陣\(\Sigma _{csp} = X_{csp}X_{csp}^T=(WX)(WX)^T=W(XX^T)W^T=W\Sigma W^T\)應該是一個對角矩陣，也就是\(W\)需要滿足\(W\bar{\Sigma}W^T=\Lambda\)，其中 \(\bar{\Sigma}=\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^N \frac{X_i X_i^T}{trace(X_i X_i^T)}\) 代表的是協方差矩陣的估計量(注意：其中 \(trace(XX^T)\) 是為了進行歸一化，為了理解方便，后面省略了歸一化的操作，另外在計算腦電信號的協方差矩陣時通常認為腦電信號的均值為0)。
為了使腦電信號更具有可區分性，通常還要考慮腦電信號的條件分布（即在每個類別下進行分析）。分別使用兩個類別的數據\(X_+\)和\(X_-\)計算協方差矩陣\(Σ_+\)，\(Σ_-\)：

\[\Sigma_+=X_+ X_+^T,\\ \Sigma_-=X_- X_-^T,\\ \Sigma=\Sigma_++\Sigma_-,\\ \]

此時我們需要獲得滿足以下條件的映射矩陣：

\[W\Sigma_+ W^T= \Lambda _+,\\ W\Sigma_- W^T=\Lambda_-,\\ WΣW^T=W(\Sigma_++\Sigma_-)W^T=\Lambda_++\Lambda_-=I,\\ \]

那么到底該怎么具體地對映射矩陣進行求解呢？目前我了解到的求解的方法有以下三種：

1. 在[1]通過計算\(\Sigma_+\)和\(\Sigma_-\)的廣義特征值來求解：

\[\Sigma_+w = λ\Sigma_-w \]

此時得到的廣義特征向量和廣義特征值滿足：

\[w\Sigma_+w=λ_+=(wX_+)(wX_+)^T,\\ w\Sigma_-w=λ_-=(wX_-)(wX_-)^T,\\ λ_++λ_-=1,\\ λ=\frac{λ_+}{λ_-},\\ \]

其中，\(λ\)是一個重要的值，它表示了正類和負類的差異。通常為了獲得更具有可區分性的特征，我們希望\(λ_+\)和\(λ_-\)的差異越大越好，因此在求出所有的廣義特征值\(λ\)后首先根據大小進行排序，然后選擇最大的和最小的\(2m\)個廣義特征值所對應的廣義特征向量來作為最后的空間濾波器。

2. 類似於第一種方法，在[2]中通過計算\(Σ_+\)和\(Σ_-+Σ_+\)的廣義特征值來求解：

\[Σ_+ w = λ(Σ_-+Σ_+)w \]

3. 第三種方法在早期的論文中出現的較多一點，這種方法可以參考[3]這篇論文。

現在我們已經求出映射矩陣\(W\)，並選取\(2m\)個行向量作為最終的空間濾波器，最后我們得到了用於分類的特征向量：

\[f_p=log(\frac{Var(X_{csp}(p))}{∑_{i = 1}^{2m}Var(X_{csp}(i))}),p=1,2,⋯,2m \]

其中\(Var(*)\)代表的是方差操作，使用\(Log(*)\)是為了讓特征近似於正太分布。

總結

CSP算法是運動想象中最經典的傳統特征提取方法之一，高效，簡便以及可解釋是其最大的優勢。其不足點是，每次使用CSP算法只能考慮兩個類別的腦電信號，因此在進行多分類問題時，需要使用one-vs-rest或者one-vs-one來進行多次CSP提取特征。

引用

[1] B. Blankertz, R. Tomioka, S. Lemm, M. Kawanabe and K. Muller, "Optimizing Spatial filters for Robust EEG Single-Trial Analysis," in IEEE Signal Processing Magazine, vol. 25, no. 1, pp. 41-56, 2008, doi: 10.1109/MSP.2008.4408441.

[2] Keng A K , Yang C Z , Chuanchu W , et al. Filter Bank Common Spatial Pattern Algorithm on BCI Competition IV Datasets 2a and 2b[J]. Frontiers in Neuroscience, 2012, 6:39.

[3] Ramoser H , Muller-Gerking J . Optimal spatial filtering of single trial EEG during imagined hand movement[J]. IEEE Transactions on Rehabilitation Engineering, 2000, 8:441--446.